Varianza. Come si calcola la varianza di una popolazione?

All'interno di Statistiche, ci sono diversi modi per analizzare un insieme di dati, a seconda delle necessità in ciascun caso. Immagina che un allenatore annoti il ​​tempo trascorso da ciascuno dei suoi atleti ad ogni allenamento di corsa e poi osservi che il I tempi di alcuni dei tuoi corridori mostrano notevoli variazioni, che possono portare alla sconfitta in una competizione. ufficiale. In questo caso è interessante che l'allenatore abbia un metodo per controllare la dispersione tra i tempi di ogni atleta.

Ovviamente Statistics ha lo strumento giusto per questo trainer! IL varianza è misura di dispersioneche permette di identificare la distanza in cui i tempi di ogni atleta sono da un valore medio. Supponiamo che l'allenatore abbia registrato in una tabella i tempi di tre atleti dopo aver completato lo stesso percorso in cinque giorni diversi:

Prima di calcolare la varianza, è necessario trovare il Media aritmetica (X) i tempi di ogni atleta. Per fare ciò, l'allenatore ha effettuato i seguenti calcoli:

João → X_J = 63 + 60 + 59 + 55 + 62 = 299 = 59,8 minuti.
5 5

Peter → X_P = 54 + 59 + 60 + 57 + 61 = 291 = 58,2 minuti
5 5

cornici → X_M = 60 + 63 + 58 + 62 + 55 = 298 = 59,6 minuti.
5 5

Ora che l'allenatore conosce il tempo medio di ogni atleta, può utilizzare la varianza per ottenere la distanza dei periodi di ogni gara da questo valore medio. Per calcolare la varianza di ogni corridoio si può eseguire il seguente calcolo:

Var = (Giorno 1 - X)² + (giorno 2 - X)² + (giorno 3 - X)² + (giorno 4 - X)² + (giorno 5 - X)²
giorni totali (5)

Per ogni atleta, l'allenatore ha calcolato la varianza:

João

Var (J) = (63 – 59,8)² + (60 – 59,8)² + (59 – 59,8)² + (55 – 59,8)² + (62 – 59,8)²
5

Var (J) = 10,24 + 0,04 + 0,64 + 23,04 + 4,84
5

Var (J) = 38,8
5

Var (J) = 7,76 minuti

Peter

Var (P) = (54 – 58,2)² + (59 – 58,2)² + (60 – 58,2)² + (57 – 58,2)² + (61 – 58,2)²
5

Var (P) = 17,64 + 0,64 + 3,24 + 1,44 + 7,84
5

Var (P) = 30,8
5

Var (P) = 6,16 minuti

cornici

Var (M) = (60 – 59,6)² + (63 – 59,6)² + (58 – 59,6)² + (62 – 59,6)² + (55 – 59,6)²
5

Var (M) = 0,16 + 11,56 + 2,56 + 5,76 + 21,16
5

Var (M) = 41,2
5

Var (M) = 8,24 minuti

Secondo i calcoli della varianza, l'atleta che presenta i tempi più disperso della media è il Cornici. Già Peter hanno presentato tempi più vicini alla loro media rispetto agli altri corridori.

Che ne dici di sintetizzare tutto ciò che abbiamo visto sulla varianza con questo esempio?

• Dato un insieme di dati, la varianza è una misura della dispersione che mostra la distanza di ciascun valore in quell'insieme dal valore centrale (medio);

• Più piccola è la varianza, più i valori sono vicini alla media. Allo stesso modo, più è grande, più i valori sono lontani dalla media.

Come in questo esempio calcoliamo la varianza di tutti i giorni in cui gli atleti si allenavano sotto la supervisione dell'allenatore, diciamo che abbiamo calcolato il varianza della popolazione. Ora immagina che l'allenatore voglia analizzare i tempi di questi atleti nel corso di un anno. Saranno molti dati, non è vero? In questo caso, sarebbe opportuno che il ricercatore scegliesse solo pochi record temporali, una sorta di campione. Questo calcolo sarebbe di a varianza di campionamento. L'unica differenza tra la varianza del campione e il calcolo che abbiamo eseguito è che il divisore è il numero di giorni sottratto da 1:

Var. campione = (giorno a - X)² + (giorno b - X)² + (giorno c – X)² +... + (giorno n – X)²
​ (giorni totali) - 1

di Amanda Gonçalves
Laureato in Matematica