Dato un cerchio di centro O, raggio r e due punti A e B appartenenti al cerchio, abbiamo che la distanza tra i punti segnati è un arco di cerchio. La lunghezza di un arco è proporzionale alla misura dell'angolo al centro, maggiore è l'angolo, maggiore è la lunghezza dell'arco; e minore è l'angolo, minore è la lunghezza dell'arco.
Per determinare la lunghezza di un cerchio usiamo la seguente espressione matematica: C = 2*π*r. Il giro completo in un cerchio è rappresentato da 360º. Facciamo un confronto tra la lunghezza della circonferenza in misura lineare (ℓ) e misura angolare (α), nota:
lineare |
angolare |
2*π*r |
360º |
ℓ |
α |
Questa espressione può essere utilizzata per determinare la lunghezza dell'arco di un cerchio di raggio r e l'angolo centrale α in gradi. In questi casi si usa π = 3,14.
Se l'angolo al centro è espresso in radianti, usiamo la seguente espressione: ℓ = α * r.
Esempio 1
Determinare la lunghezza di un arco con angolo al centro pari a 30° contenuto in una circonferenza di raggio 2 cm.
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 30º * 3,14 * 2 / 180º
ℓ = 188,40 / 180
= 1,05 cm
La lunghezza dell'arco sarà di 1,05 centimetri.
Esempio 2
La lancetta dei minuti di un orologio da parete misura 10 cm. Quanto spazio percorrerà la mano dopo 30 minuti?
Guarda l'immagine dell'orologio:
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 180º * 3,14 * 10 / 180º
ℓ = 5652 / 180
= 31,4 cm
Lo spazio coperto dalla lancetta dei minuti sarà di 31,4 centimetri.
Esempio 3
Determina la lunghezza di un arco con un angolo al centro di π/3 contenuto in una circonferenza di 5 cm di raggio.
ℓ = α * r
ℓ = π/3 * 5
ℓ = 5π/3
ℓ = 5*3,14 / 3
ℓ = 15,7 / 3
= 5,23 cm
Esempio 4
Un pendolo lungo 15 cm oscilla tra A e B con un angolo di 15°. Qual è la lunghezza della traiettoria descritta dalla sua estremità tra A e B?
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 15º * 3,14 * 15 / 180º
ℓ = 706,5 / 180
= 3,9 cm
La lunghezza della traiettoria tra A e B è di 3,9 centimetri.
di Mark Noah
Laureato in Matematica
Squadra scolastica brasiliana
Trigonometria - Matematica - Brasile Scuola
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/comprimento-um-arco.htm