Uno equazione è una frase matematica che ha un'uguaglianza e almeno un'incognita, cioè quando abbiamo il coinvolgimento di a espressione algebrica e un'uguaglianza. Lo studio delle equazioni richiede conoscenze pregresse, come lo studio di espressioni numeriche. Lo scopo di un'equazione è trova il valore sconosciuto che trasforma l'uguaglianza in un'identità, cioè in una vera uguaglianza.
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Concetti di base per lo studio delle equazioni
Un'equazione è una frase matematica che ha a sconosciuto, almeno, e a uguaglianza, e possiamo classificarlo in base al numero di incognite. Vedi alcuni esempi:
a) 5t – 9 = 16
L'equazione ha un'incognita, rappresentata dalla lettera t.
b) 5x + 6y = 1
L'equazione ha due incognite, rappresentate dalle lettere X e y.
c) t4 – 8z = x
L'equazione ha tre incognite, rappresentate dalle lettere ok,z e X.
Qualunque sia l'equazione, dobbiamo prendere in considerazione il tuo insieme dell'universo,composto da tutti i possibili valori che possiamo assegnare all'incognita, questo insieme è rappresentato dalla lettera tu.
Esempio 1
Considera l'equazione x + 1 = 0 e la sua possibile soluzione x = –1. Consideriamo ora che l'insieme dell'universo dell'equazione sono i naturale.
Si noti che la presunta soluzione non appartiene all'insieme dell'universo, poiché i suoi elementi sono tutti i possibili valori che l'incognita può assumere, quindi x = -1 non è la soluzione dell'equazione.
Naturalmente, maggiore è il numero di incognite, più difficile è determinare la soluzione. IL soluzione o fonte di un'equazione è l'insieme di tutti i valori che, quando assegnati all'incognita, rendono vera l'uguaglianza.
Esempio 2
Considera l'equazione con un'incognita 5x – 9 = 16, controlla che x = 5 sia la soluzione o radice dell'equazione.
In modo che sia possibile dire che x = 5 è la soluzione dell'equazione, dobbiamo sostituire quel valore nell'espressione, se troviamo una vera uguaglianza, il numero sarà la soluzione testata.
5X – 9 = 16
5(5) – 9 = 16
25 – 9 = 16
16 = 16
Vedi che l'uguaglianza trovata è vera, quindi abbiamo un'identità e il numero 5 è una soluzione. Quindi possiamo dire che l'insieme delle soluzioni è dato da:
S = {5}
Esempio 3
Considera l'equazione t2 = 4 e verifica se t = 2 o t = –2 sono soluzioni dell'equazione.
Analogamente, dovremmo sostituire il valore di t nell'equazione, tuttavia, nota che abbiamo due valori per l'incognita e quindi dovremmo eseguire la verifica in due passaggi.
Passo 1 – Per t = 2
t2= 4
22 = 4
4 = 4
Passo 2 – Per t = –2
t2 = 4
(–2)2 = 4
4 = 4
Vedi per t = 2 e t = – 2 troviamo un'identità, quindi questi due valori sono soluzioni dell'equazione. Possiamo quindi dire che l'insieme delle soluzioni è:
S = {2, –2}
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Tipi di equazioni
Possiamo anche classificare un'equazione in base alla posizione occupata dalle incognite. Vedi le principali tipologie:
Equazioni polinomiali
A equazioni polinomiali sono caratterizzati dall'avere un polinomio uguale a zero. Vedi alcuni esempi:
Il) 6t3+ 5t2–5t = 0
I numeri6, 5 e –5 sono i coefficienti dell'equazione.
B) 9X – 9= 0
I numeri 9 e – 9 sono i coefficienti dell'equazione.
c) si2– sì – 1 = 0
I numeri 1, – 1 e – 1 sono i coefficienti dell'equazione.
Gradi dell'equazione
Le equazioni polinomiali possono essere classificate in base al loro grado. Così come il polinomi, il grado di un'equazione polinomiale è dato da potenza massima che ha un coefficiente diverso da zero.
Dagli esempi precedenti a, b e c, abbiamo che i gradi delle equazioni sono:
a) 6t3 + 5t2 –5t = 0 → Equazione polinomiale di terzo grado
b) 9X – 9 = 0 → Equazione polinomiale di primo grado
ç) sì2 – y – 1 = 0 → Equazione polinomiale di Scuola superiore
Leggi anche tu: equazione quadratau: come calcolare, tipi, esempi
equazioni razionali
Le equazioni razionali sono caratterizzate dall'avere la loro incognite al denominatore di a frazione. Vedi alcuni esempi:
Leggi anche tu: Cosa sono i numeri razionali?
equazioni irrazionali
A equazioni irrazionali sono caratterizzati dall'avere incognite all'interno di un'ennesima radice, cioè all'interno di un radicale che ha indice n. Vedi alcuni esempi:
equazioni esponenziali
A equazioni esponenziali avere il incognite situate nell'esponente di una potenza. Vedi alcuni esempi:
equazione logaritmica
A equazioni logaritmiche sono caratterizzati dall'avere uno o più sconosciuti in qualche parte del logaritmo. Vedremo che, applicando la definizione del logaritmo, l'equazione cade in alcuni dei casi precedenti. Vedi alcuni esempi:
Vedi anche: Equazione di primo grado con un'incognita
Come risolvere un'equazione?
Per risolvere un'equazione, dobbiamo studiare il metodi utilizzati in ogni tipo, ovvero per ogni tipo di equazione esiste un metodo diverso per determinare le possibili radici. Tuttavia tutti questi metodi sono derivato dal principio di equivalenza, con esso è possibile risolvere i principali tipi di equazioni.
Principio di equivalenza
Secondo principio di equivalenza, possiamo operare liberamente su un lato di un'uguaglianza fintanto che facciamo lo stesso sull'altro lato dell'uguaglianza. Per migliorare la comprensione, chiameremo questi lati.
Pertanto, il principio di equivalenza afferma che è possibile operare sul primo arto liberamente finché il stessa operazione viene eseguita sul secondo membro.
Per verificare il principio di equivalenza si consideri la seguente uguaglianza:
5 = 5
Andiamo adesso aggiungere su entrambi i lati il numero 7, e nota che l'uguaglianza sarà ancora vera:
5 =5
5 + 7= 5 + 7
12 = 12
Andiamo adesso sottrarre 10 su entrambi i lati dell'uguaglianza, nota ancora che l'uguaglianza sarà ancora vera:
12 = 12
12 – 10 = 12 – 10
2 = 2
vedi che possiamo moltiplicare o Condividere e alzare a a potenza o anche estrarre a fonte, fintanto che viene eseguito sul primo e sul secondo membro, l'uguaglianza sarà sempre vera.
Per risolvere un'equazione, dobbiamo usare questo principio insieme alla conoscenza delle operazioni menzionate. Per facilitare lo sviluppo delle equazioni tralasciamo l'operazione fatta sul primo membro, equivale a dire che stiamo passando il numero all'altro membro, scambiando il segno con il contrario.
L'idea per determinare la soluzione di un'equazione è sempre isolare l'ignoto usando il principio di equivalenza, Guarda:
Esempio 4
Utilizzando il principio di equivalenza, determinare l'insieme delle soluzioni dell'equazione 2x – 4 = 8 sapendo che l'insieme dell'universo è dato da: U = ℝ.
2x - 4 = 8
Per risolvere un'equazione polinomiale di primo grado, dobbiamo lasciare isolata l'incognita nel primo membro. Per questo, prenderemo il numero –4 dal primo membro, aggiungendo 4 a entrambi i lati, poiché –4 + 4 = 0.
2x - 4 = 8
2x - 4+ 4 = 8+ 4
2x = 12
Nota che eseguire questo processo equivale a passare semplicemente il numero 4 con il segno opposto. Quindi, per isolare l'incognita x, passiamo il numero 2 al secondo membro, dato che sta moltiplicando x. (Ricorda: l'operazione inversa della moltiplicazione è la divisione). Sarebbe come dividere entrambi i membri per 2.
Pertanto, l'insieme delle soluzioni è dato da:
S = {6}
Esempio 5
Risolvi l'equazione 2x+5 = 128 sapendo che l'insieme dell'universo è dato da U = ℝ.
Per risolvere l'equazione esponenziale, usiamo prima quanto segue proprietà di potenziamento:
Ilm + n = ilm · ano
Useremo anche il fatto che 22 = 4 e 25 = 32.
2x+5 = 128
2X · 25 = 128
2X · 32 = 128
Nota che è possibile dividere entrambi i membri per 32, ovvero passare il numero 32 al secondo membro dividendo.
Quindi dobbiamo:
2X = 4
2X = 22
L'unico valore di x che soddisfa l'uguaglianza è il numero 2, quindi x = 2 e l'insieme delle soluzioni è dato da:
S = {2}
esercizi risolti
domanda 1 – Si consideri l'universo impostato U = ℕ e si determini la soluzione della seguente equazione irrazionale:
Risoluzione
Per risolvere questa equazione, dobbiamo preoccuparci di eliminare la radice del primo membro. Nota che, per questo, è necessario elevare il primo membro allo stesso indice della radice, cioè al cubo. Per il principio di equivalenza, dobbiamo anche elevare il secondo membro dell'uguaglianza.
Nota che dobbiamo ora risolvere un'equazione polinomiale di secondo grado. Passiamo il numero 11 al secondo membro (sottrarre 11 da entrambi i lati dell'uguaglianza), in modo da isolare l'incognita x.
X2 = 27 – 11
X2 = 16
Ora per determinare il valore di x, vedi che ci sono due valori che soddisfano l'uguaglianza, x' = 4 o x'' = –4, una volta:
42 = 16
e
(–4)2 = 16
Tuttavia, si noti nell'affermazione della domanda che l'insieme dell'universo dato è l'insieme dei numeri naturali e il numero -4 non gli appartiene, quindi l'insieme della soluzione è dato da:
S = {4}
Domanda 2 – Considera l'equazione polinomiale x2 + 1 = 0 sapendo che l'insieme dell'universo è dato da U = ℝ.
Risoluzione
Per il principio di equivalenza, sottrarre 1 da entrambi i membri.
X2 + 1 – 1= 0 – 1
X2 = – 1
Nota che l'uguaglianza non ha soluzione, poiché l'insieme dell'universo è i numeri reali, cioè tutti i i valori che l'incognita può assumere sono reali, e non esiste un numero reale che, al quadrato, sia negativo.
12 = 1
e
(–1)2 = 1
Pertanto, l'equazione non ha soluzione nell'insieme dei reali, e quindi possiamo dire che l'insieme delle soluzioni è vuoto.
S = {}
di Robson Luiz
Insegnante di matematica
(Enem 2009) Un gruppo di 50 persone ha fatto un bilancio iniziale per organizzare una festa, che sarebbe stata divisa tra loro in parti uguali. Alla fine si è riscontrato che, per coprire tutte le spese, mancavano R$510,00 e che 5 nuove persone si erano unite al gruppo. Nell'accordo è stato deciso che la spesa totale sarebbe stata divisa equamente per le 55 persone. Coloro che non avevano ancora contribuito avrebbero pagato la loro quota e ciascuna delle 50 persone del gruppo iniziale avrebbe dovuto contribuire con un ulteriore R$7,00.
Secondo queste informazioni, qual era il valore della quota calcolata nell'accordo finale per ciascuna delle 55 persone?
(Vunesp – 2011) Pedrinho aveva quattro anni quando sua madre diede alla luce due gemelli. Oggi la somma delle età dei tre fratelli è di 52 anni. L'età di Pedrinho oggi è:
