Cosa sono i punti massimo e minimo?

voi punti di massimo viene da Minimo sono definiti e discussi solo per funzioni del liceo, poiché possono esistere su qualsiasi curva.

Prima, ricordiamo: a occupazione di secondogrado è uno che può essere scritto nella forma f (x) = ax² + bx + c. oh grafico di questo tipo di funzione è il parabola, chi può avere il tuo? concavità a faccia in giù o in alto. Inoltre, in questa figura, c'è un punto chiamato vertice, rappresentato dalla lettera V, che può essere la Puntonelmassimo o il PuntonelMinimo della funzione.

punto massimo

Tutti occupazione di secondogrado con < 0 ha Puntonelmassimo. In altre parole, il punto massimo è possibile solo in funzioni con la concavità rivolta verso il basso. Come mostrato nell'immagine seguente, il punto massimo V è il punto più alto delle funzioni di secondo grado con a < 0.

Nota che la grafica di questo occupazione sta aumentando fino a raggiungere il Puntonelmassimo, dopodiché il grafico diventa discendente. Il punto più alto di questa funzione di esempio è il suo punto massimo. Si noti inoltre che non esiste un punto con una coordinata y maggiore di V = (3, 6) e che il valore x assegnato al punto massimo si trova nel punto medio del

segmento, le cui estremità sono le radici della funzione (quando sono numeri reali).

Inoltre, ricorda che il Puntonelmassimo coincide sempre con il vertice della funzione con concavità rivolta verso il basso.

Punto minimo Minimum

Tutti occupazione di secondogrado con coefficiente a > 0 ha PuntonelMinimo. In altre parole, il punto di minimo è possibile solo nelle funzioni con concavità rivolta verso l'alto. Si noti nella figura seguente che V è il punto più basso della parabola:

Il grafico di questo occupazione sta diminuendo fino a raggiungere il PuntonelMinimo, dopo di che, continua a crescere. Inoltre, il punto minimo V è il punto più basso di questa funzione, cioè non c'è nessun altro punto con una coordinata y inferiore a –1. Si noti inoltre che il valore di x relativo a y nel punto di minimo è anche nel punto medio del segmento, i cui estremi sono le radici della funzione (quando sono numeri reali).

Ricorda inoltre che il PuntonelMinimo coincide sempre con il vertice della funzione con concavità rivolta verso l'alto.

Punto massimo o minimo nella legge di formazione della funzione

Sapendo che la legge di formazione di occupazionedisecondogrado ha la forma f (x) = ax² + bx + c, è possibile utilizzare le relazioni tra i coefficienti a, b e c per trovare le coordinate del vertice della funzione. Le coordinate del vertice saranno esattamente le coordinate del suo punto di massimo o di Minimo.

Sapendo che la coordinata x del vertice di una occupazione è rappresentato da xv, avremo:

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X_v = - B
2°

Sapendo che la coordinata y di vertice di una occupazione è rappresentato da yv, avremo:

sì_v = – Δ
4°

Pertanto, le coordinate del vertice V saranno: V = (x_vsì_v).

Se la vertice sarà punto di massimo o di Minimo, basta analizzare la concavità della parabola:

Se a < 0, la parabola ha punto di picco.

Se a > 0, la parabola ha punto di minimo.

Nota che quando la funzione ha due radici reali, x_v sarà nel punto medio del segmento, le cui estremità sono le radici del occupazione. Quindi un'altra tecnica per trovare x_v e si_v è trovare le radici della funzione, trovare il punto medio della retta che le collega e applicare quel valore alla funzione per trovare y_v relazionato.

Esempio:

Determina il vertice della funzione f(x) = x² + 2x – 3 e dì se lo è Puntonelmassimo o di Minimo.

1a soluzione: Calcola le coordinate del vertice dalle formule date, sapendo che a = 1, b = 2 e c = – 3.

X_v = - B
2°

X_v = – 2
2·1

X_v = – 1

sì_v = – Δ
4°

sì_v = – (2² – 4·1·[– 3])
4·1

sì_v = – (4 + 12)
4

sì_v = – 16
4

sì_v = – 4

Quindi, V = (– 1, – 4) e la funzione ha PuntonelMinimo, perché a = 1 > 0.

2a soluzione: Trova le radici di occupazione di secondogrado, determinare il punto medio del segmento di collegamento, che sarà x_ve applica quel valore alla funzione per trovare y_v.

Le radici della funzione, date da metodo di completamento quadrato, sono:

f(x) = x² + 2x – 3

0 = x² + 2x – 3

4 = x² + 2x – 3 + 4

X² + 2x + 1 = 4

(x + 1)² = 4

Facendo la radice quadrata su entrambi i membri, avremo:

[(x + 1)²] = √4
x + 1 = ± 2
x = ± 2 - 1

x' = 2 - 1 = 1

x" = – 2 – 1 = – 3

Un segmento che va da – 3 a 1 ha come punto medio x_v = – 1. Per maggiori dettagli, controlla l'immagine dopo la soluzione. Applicazione di x_v nella funzione avremo:

f(x) = x² + 2x – 3

sì_v = (– 1)² + 2(– 1) – 3

sì_v = 1 – 2 – 3

sì_v = 1 – 5

sì_v = – 4

Questi risultati sono gli stessi valori trovati nella prima soluzione: V = (– 1, – 4). Inoltre, la funzione ha PuntonelMinimo, perché a = 1 > 0.

L'immagine sotto mostra il grafico di questo occupazione con le sue radici e con il suo punto di minimo V.

Vale la pena notare che la formula di Bhaskara può essere utilizzata anche per trovare le radici della funzione in questo contenuto.

Di Luiz Paulo Moreira
Laureato in Matematica