L'origine di i al quadrato uguale a -1

Nello studio dei numeri complessi troviamo la seguente uguaglianza: i2 = – 1.
La giustificazione per questa uguaglianza è solitamente associata alla risoluzione di equazioni di 2° grado con radici quadrate negative, il che è un errore. L'origine dell'espressione i2 = – 1 appare nella definizione di numeri complessi, un altro problema che solleva anche molti dubbi. Cerchiamo di capire il motivo di tale uguaglianza e come si presenta.
Per prima cosa, facciamo alcune definizioni.
1. Una coppia ordinata di numeri reali (x, y) è chiamata numero complesso.
2. Numeri complessi (x11) e (x22) sono uguali se e solo se x1 = x2 e si1 = y2.
3. Addizione e moltiplicazione di numeri complessi sono definite da:
(X11) + (x22) = (x1 + x21 + si2)
(X11)*(X22) = (x1*X2 - si1*y2, X1*y2 + si1*X2)
Esempio 1. Considera z1 = (3, 4) e z2 = (2, 5), calcola z1 + z2 e z1*z2.
Soluzione:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1*z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Utilizzando la terza definizione è facile dimostrare che:


(X1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
(X1, 0)*(x2, 0) = (x1*X2, 0)
Queste uguaglianze mostrano che rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione, i numeri complessi (x, y) si comportano come numeri reali. In questo contesto, possiamo stabilire la seguente relazione: (x, 0) = x.
Usando questa relazione e il simbolo i per rappresentare il numero complesso (0, 1), possiamo scrivere qualsiasi numero complesso (x, y) come segue:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1)*(y, 0) = x + iy → che è la forma normale di chiamata di un numero complesso.
Quindi, il numero complesso (3, 4) in forma normale diventa 3 + 4i.
Esempio 2. Scrivi i seguenti numeri complessi in forma normale.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (– 7, 11) = – 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Notare ora che chiamiamo i il numero complesso (0, 1). Vediamo cosa succede durante la creazione di i2.
Sappiamo che i = (0, 1) e che i2 = io*i. Segui questo:
io2 = io*i = (0, 1)*(0, 1)
Usando la definizione 3, avremo:
io2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0 )
Come abbiamo visto in precedenza, ogni numero complesso della forma (x, 0) = x. Così,
io2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0 ) = – 1.
Siamo arrivati ​​alla famosa uguaglianza i2 = – 1.

di Marcelo Rigonatto
Specialista in Statistica e Modellistica Matematica
Squadra scolastica brasiliana

Numeri complessi - Matematica - Brasile Scuola

Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm

Elenco delle 10 auto più ricercate in Brasile che hanno fino a 12 anni

Il mercato brasiliano settore automobilistico sta attraversando un momento di rialzo dei valori d...

read more

Serotonina: la depressione cronica può avere cause inimmaginabili

Quello che forse molti non sanno è che le cause dello sviluppo di depressione andare ben oltre la...

read more
Divertiti con il gioco dell'impiccato sui generi musicali brasiliani

Divertiti con il gioco dell'impiccato sui generi musicali brasiliani

CuriositàTra i vari generi musicali che hanno segnato la musica nel corso degli anni, di seguito ...

read more