Nello studio dei numeri complessi troviamo la seguente uguaglianza: i2 = – 1.
La giustificazione per questa uguaglianza è solitamente associata alla risoluzione di equazioni di 2° grado con radici quadrate negative, il che è un errore. L'origine dell'espressione i2 = – 1 appare nella definizione di numeri complessi, un altro problema che solleva anche molti dubbi. Cerchiamo di capire il motivo di tale uguaglianza e come si presenta.
Per prima cosa, facciamo alcune definizioni.
1. Una coppia ordinata di numeri reali (x, y) è chiamata numero complesso.
2. Numeri complessi (x1sì1) e (x2sì2) sono uguali se e solo se x1 = x2 e si1 = y2.
3. Addizione e moltiplicazione di numeri complessi sono definite da:
(X1sì1) + (x2sì2) = (x1 + x2sì1 + si2)
(X1sì1)*(X2sì2) = (x1*X2 - si1*y2, X1*y2 + si1*X2)
Esempio 1. Considera z1 = (3, 4) e z2 = (2, 5), calcola z1 + z2 e z1*z2.
Soluzione:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1*z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Utilizzando la terza definizione è facile dimostrare che:
(X1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
(X1, 0)*(x2, 0) = (x1*X2, 0)
Queste uguaglianze mostrano che rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione, i numeri complessi (x, y) si comportano come numeri reali. In questo contesto, possiamo stabilire la seguente relazione: (x, 0) = x.
Usando questa relazione e il simbolo i per rappresentare il numero complesso (0, 1), possiamo scrivere qualsiasi numero complesso (x, y) come segue:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1)*(y, 0) = x + iy → che è la forma normale di chiamata di un numero complesso.
Quindi, il numero complesso (3, 4) in forma normale diventa 3 + 4i.
Esempio 2. Scrivi i seguenti numeri complessi in forma normale.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (– 7, 11) = – 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Notare ora che chiamiamo i il numero complesso (0, 1). Vediamo cosa succede durante la creazione di i2.
Sappiamo che i = (0, 1) e che i2 = io*i. Segui questo:
io2 = io*i = (0, 1)*(0, 1)
Usando la definizione 3, avremo:
io2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0 )
Come abbiamo visto in precedenza, ogni numero complesso della forma (x, 0) = x. Così,
io2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0 ) = – 1.
Siamo arrivati alla famosa uguaglianza i2 = – 1.
di Marcelo Rigonatto
Specialista in Statistica e Modellistica Matematica
Squadra scolastica brasiliana
Numeri complessi - Matematica - Brasile Scuola
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm