Kamu bilangan irasional menyebabkan kegelisahan besar di matematikawan untuk waktu yang lama. Hari ini, sudah didefinisikan dengan baik, kita tahu sebagai bilangan irasional yang representasi desimal selalu merupakan desimal non-periodik. Ciri utama bilangan irasional, dan apa yang membedakannya dengan bilangan rasional, adalah bahwa tidak dapat diwakili oleh pecahan.
Studi bilangan irasional diperdalam ketika, ketika menghitung masalah yang melibatkan teorema Pythagoras, akar yang tidak eksak ditemukan. Tindakan mencari solusi untuk akar yang tidak tepat ini membuat keberadaan persepuluhan yang tidak tepat menjadi luar biasa periodik, yaitu bilangan yang bagian desimalnya tak berhingga dan tidak memiliki barisan yang baik. didefinisikan. Bilangan irasional utama adalah desimal non-periodik, akar tidak eksak, dan .
Baca juga: Akar kuadrat - kasus rooting di mana indeks radikal adalah 2
Himpunan bilangan irasional
Sebelum mempelajari bilangan irasional, himpunan bilangan dipelajari
alam, bilangan bulat dan rasional. Ketika mempelajari lebih dalam studi segitiga persegi panjang, menjadi jelas bahwa ada beberapa akar yang tidak memiliki solusi eksak, khususnya, adalah mungkin untuk melihat bahwa solusi akar yang tidak eksak adalah bilangan dikenal sebagai persepuluhan non-periodik.Di tengah keresahan ini, banyak matematikawan telah mencoba untuk menunjukkan, tetapi tidak berhasil, bahwa akar tak eksak adalah bilangan rasional dan yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan, tetapi yang disadari adalah bahwa angka-angka ini tidak dapat direpresentasikan dalam ini untuk m. Karena, sampai sekarang, himpunan bilangan rasional tidak termasuk bilangan-bilangan ini, kebutuhan muncul untuk membuat himpunan baru, yang dikenal sebagai himpunan bilangan irasional.
Suatu bilangan dikatakan irasional jika representasi desimalnya adalah desimal non-periodik. |
Apa itu bilangan irasional?
Untuk menjadi bilangan irasional, ia harus memenuhi definisi, yaitu, representasi desimalnya adalah desimal non-periodik. Karakteristik utama dari desimal non-periodik adalah bahwa mereka tidak dapat diwakili oleh pecahan, yang menunjukkan bahwa bilangan irasional adalah kebalikan dari bilangan rasional.
Angka utama dengan fitur ini adalah akar tidak tepat.
Contoh:
a) 2
b) 5
c) 7
d) 13
Saat mencari solusi akar yang tidak tepat, yaitu, melakukan representasi desimal dari angka-angka ini, selalu kita akan menemukan desimal non-periodik, yang menjadikan bilangan-bilangan ini elemen dari himpunan irasional.
Selain akar tak eksak, ada juga desimal non-periodik, misalnya jika kita menghitung akar tak eksak, kita akan menemukan desimal non-periodik.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Bilangan irasional biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani, karena tidak mungkin untuk menulis semua tempat desimalnya.
Yang pertama adalah π (baca: pi), hadir dalam perhitungan luas dan keliling lingkaran. Memiliki nilai yang sama dengan 3,1415926535…
Selain, bilangan lain yang sangat umum adalah (baca: fi). Dia ditemukan dalam masalah yang melibatkan proporsi keemasan. Ini memiliki nilai yang sama dengan 1,618033...
Lihat juga: Apa itu bilangan prima?
bilangan rasional dan irasional
Saat menganalisis himpunan bilangan, penting untuk membedakan antara bilangan rasional dan bilangan irasional. Gabungan dua himpunan ini membentuk salah satu himpunan yang paling banyak dipelajari dalam matematika, himpunan real, yaitu himpunan bilangan asli itu adalah penggabungan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan (rasional) dengan bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan (irasional).
Dalam himpunan angka rasional, ada bilangan bulat, bilangan asli, desimal eksak, dan desimal periodik.
Contoh bilangan rasional:
-60 → bilangan bulat
2.5 → desimal tepat
5.11111111… → desimal periodik
Bilangan irasional adalah desimal non-periodik, jadi tidak ada bilangan yang rasional dan irasional secara bersamaan.
Contoh bilangan irasional:
1.123149… → persepuluhan tidak berkala
2.769235… → persepuluhan tidak berkala
Operasi bilangan irasional
penambahan dan pengurangan
ITU tambahan dan pengurangan dari dua bilangan irasional biasanya hanya diwakili, kecuali perkiraan desimal dari angka-angka ini digunakan, misalnya:
a) 6 + 5
b) 6 – 5
c) 1,414213… + 3,1415926535…
Kami tidak dapat menambah atau mengurangi nilai karena radikal, jadi kami baru saja meninggalkan operasi yang ditunjukkan.
Dalam representasi desimal, juga tidak mungkin untuk melakukan jumlah yang tepat, jadi untuk menambahkan dua bilangan irasional, kita membutuhkan pendekatan rasional., dan representasi ini dipilih sesuai dengan kebutuhan akan presisi data ini. Semakin banyak tempat desimal yang kita pertimbangkan, semakin dekat dengan jumlah pasti yang kita dapatkan.
Pengamatan:himpunan bilangan irasional tidak tertutup untuk penambahan atau pengurangan, ini berarti bahwa jumlah dua bilangan irasional dapat menghasilkan bilangan yang tidak rasional. Misalnya, jika kita menghitung selisih bilangan irasional dengan kebalikannya, kita harus:
a) 2 – 2 = 0
b) + (-π) = 0
Kita tahu bahwa 0 bukan bilangan irasional.
Perkalian dan pembagian
perkalian dan divisi bilangan irasional dapat dilakukan jika representasinya adalah radiasi, namun, seperti penambahan, dalam representasi desimal, yaitu mengalikan atau membagi dua desimal, diperlukan pendekatan rasional dari angka ini.
a) 7 · 5 = 35
b) 32: 2 = 16 = 4
Perhatikan juga bahwa, dalam contoh b, 4 adalah bilangan rasional, yang berarti bahwa perkalian dan pembagian dua bilangan irasional tidak tertutup, yaitu, mereka dapat memiliki hasil yang rasional.
latihan yang diselesaikan
Pertanyaan 1 - Tinjau angka-angka berikut:
I) 3.1415926535
II) 4.1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123...
V) 36
VI) 12
Ini adalah bilangan irasional:
A) Hanya I, IV dan V
B) Hanya II, III dan VI
C) Hanya II, IV dan VI
D) Hanya I, II, III dan VI
E) Hanya III, IV, V dan VI
Resolusi
Alternatif B
I → bilangan desimal eksak, rasional.
II → bilangan tersebut adalah desimal irasional non-periodik.
III → adalah irasional, dan rangkapnya, yaitu 2π, juga irasional.
IV → bilangan tersebut merupakan desimal rasional periodik.
V → eksak, akar rasional.
VI → akar tidak tepat, irasional.
Pertanyaan 2 - Silakan menilai pernyataan berikut:
I – Himpunan bilangan real adalah gabungan dari rasional dan irasional;
II – Jumlah dua bilangan irasional bisa menjadi bilangan rasional;
III – Perpuluhan adalah bilangan irasional.
Menganalisis pernyataan, kita dapat mengatakan bahwa:
A. Hanya pernyataan I yang benar.
B. Hanya pernyataan II yang benar.
C. Hanya pernyataan III yang benar.
D. Hanya pernyataan I dan II yang benar.
E. Semua pernyataan benar.
Resolusi
Alternatif D
I → Benar, karena definisi himpunan bilangan real adalah gabungan antara rasional dan irasional.
II → Benar, jika kita menjumlahkan suatu bilangan dengan lawannya, maka hasilnya adalah bilangan 0, yang rasional.
III → Persepuluhan palsu dan tidak berkala tidak rasional.
Oleh Raul Rodrigues de Oliveira
Guru matematika
Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm
