ITU faktorisasi ekspresi aljabar terdiri dari menulis ekspresi aljabar dalam bentuk produk. Dalam kasus praktis, yaitu, dalam pemecahan beberapa masalah yang melibatkan ekspresi aljabar, faktorisasi sangat berguna karena, dalam kebanyakan situasi, ini menyederhanakan ekspresi kerja.
Untuk melakukan faktorisasi ekspresi aljabar, kita akan menggunakan hasil yang sangat penting dalam matematika yang disebut teorema dasar aritmatika, yang menyatakan bahwa bilangan bulat apa pun yang lebih besar dari 1 dapat ditulis sebagai produk dari bilangan prima, Lihat:
121 = 11 · 11
60 = 5 · 4 · 3
Kami baru saja memfaktorkan angka 121 dan 60.
Baca juga: Penguraian suatu bilangan menjadi faktor prima
Metode untuk Memfaktorkan Ekspresi Aljabar
Sekarang kita akan melihat metode faktorisasi utama, yang paling sering digunakan, kita akan melakukan pembenaran geometrik singkat. Lihat:
Faktor bukti
Perhatikan persegi panjang:
Perhatikan bahwa empat persegi panjang biru ditambah luas persegi panjang hijau menghasilkan persegi panjang yang lebih besar. Mari kita lihat masing-masing area ini:
ITUBIRU = b · x
ITUHIJAU = b · y
ITULEBIH BESAR = b · (x + y)
Jadi, kita harus:
ITULEBIH BESAR = ABIRU + AHIJAU
b (x + y) = bx + by
Contoh
Itu) Untuk memfaktorkan ekspresi: 12x + 24y.
Perhatikan bahwa 12 adalah faktor bukti, karena muncul di kedua paket, jadi untuk menentukan angka yang ada di dalam tanda kurung, cukup Bagikan setiap paket dengan faktor bukti.
12x: 12 = x
24 tahun: 12 = 2 tahun
12x + 24y = 12 · (x + 2 tahun)
B) Untuk memfaktorkan ekspresi 21ab2 – ke-702B.
Dengan cara yang sama, pada awalnya, faktor bukti ditentukan, yaitu faktor yang diulang dalam persil. Lihat bahwa dari bagian numerik kita memiliki 7 sebagai faktor persekutuan, karena merupakan faktor yang membagi kedua bilangan tersebut. Sekarang, mengenai bagian literal, lihat bahwa hanya faktor yang diulang ab, oleh karena itu, faktor buktinya adalah: 7ab.
21ab2 – ke-702b = 7ab (3b - 10Itu)
Baca juga: Pembagian polinomial: bagaimana melakukannya?
Memfaktorkan dengan mengelompokkan
Faktorisasi menurut pengelompokan adalah timbul dari anjak piutang dengan bukti, satu-satunya perbedaan adalah, alih-alih memiliki monomium sebagai faktor umum atau faktor bukti, kita akan memiliki polinomial, lihat contohnya:
Pertimbangkan ekspresi (a + b) · xy + (a + b) · wz2
Perhatikan bahwa faktor persekutuannya adalah binomial (a + b),oleh karena itu, bentuk faktor dari ekspresi sebelumnya adalah:
(a + b) · (xy + wz2)
selisih dua persegi
Pertimbangkan dua angka a dan b, ketika kita memiliki a perbedaan kuadrat dari bilangan-bilangan ini, yaitu2 - B2, sehingga kita dapat menuliskannya sebagai produk dari jumlah untuk perbedaan, yaitu:
Itu2 - B2 = (a + b) · (a - b)
Contoh
Itu) Untuk memfaktorkan ekspresi x2 - kamu2.
Kita dapat menggunakan selisih antara dua kuadrat, jadi:
x2 - kamu2 = (x + y) · (x - y)
B) Untuk faktor 20202 – 2.0192.
Kita dapat menggunakan selisih antara dua kuadrat, jadi:
2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)
2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1
2.0202 – 2.0192 = 4.039
Trinomial kuadrat sempurna perfect
Ambil bujur sangkar berikutnya dari samping (a + b) dan perhatikan luas bujur sangkar dan persegi panjang yang terbentuk di dalamnya.
Lihat area kotak lebih besar diberikan oleh (a + b)2, tetapi, sebaliknya, luas persegi terbesar dapat diperoleh dengan menambahkan kotak dan persegi panjang di dalamnya, seperti ini:
(a + b)2 = itu2+ ab + ab + b2
(a + b)2 = itu2+ 2b + b2
(a + b)2 = itu2 + 2ab + b2
Demikian pula, kita harus:
(a - b)2 = itu2 – 2ab + b2
Contoh
Perhatikan ekspresi x2 + 12x + 36.
Untuk memfaktorkan ekspresi jenis ini, cukup identifikasi koefisien variabel x dan koefisien independen, dan bandingkan dengan rumus yang diberikan, lihat:
x2 + 12x + 36
Itu2 + 2ab + b2
Membuat perbandingan, lihat bahwa x = a, 2b = 12 dan b2 = 36; persamaan, kita memiliki b = 6, jadi ekspresi terfaktornya adalah:
x2 + 12x + 36 = (x + 6)2
Trinomial SMA
Pertimbangkan trinomial kapak2 + bx + c. Bentuk faktornya dapat ditemukan menggunakan akarmu, yaitu, nilai x yang meniadakan ekspresi itu. Untuk menentukan nilai yang membuat ekspresi ini nol, selesaikan persamaan ax2 + bx + c = 0 menggunakan metode apa pun yang nyaman. Di sini kami menyoroti metode yang paling terkenal: Metode Bhaskara.
Bentuk faktor dari trinomial kapak2 + bx + c adalah:
kapak2 + bx + c = a · (x – x1) · (x - x2)
Contoh
Perhatikan ekspresi x2 +x – 20.
Langkah pertama adalah menentukan akar-akar persamaan x.2 + x – 20 = 0.
Jadi bentuk faktor dari ekspresi x2 + x – 20 adalah:
(x – 4) · (x + 5)
Kubus selisih dua bilangan
Kubus selisih antara dua bilangan a dan b diberikan oleh:
(a - b)3 = (a – b) · (a - b)2
(a - b)3 = (a – b) · (a2 – 2ab + b2)
Kubus jumlah dua bilangan
Demikian pula, kami memiliki bahwa (a + b)3 = (a + b) · (a + b)2 , segera:
(a + b)3 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)
latihan yang diselesaikan
pertanyaan 1 – (Cefet-MG) Dimana angka n = 6842 – 6832, jumlah digit dari n adalah:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
Resolusi
Alternatif d. Untuk menentukan jumlah digit n, pertama-tama kita memfaktorkan ekspresinya, karena menghitung kuadrat dan kemudian mengurangkannya adalah pekerjaan yang tidak perlu. Memfaktorkan ekspresi menggunakan perbedaan antara dua kotak, kami memiliki:
n = 6842 – 6832
n = (684 + 683) · (684 - 683)
n = 1.367 · 1
n = 1,367
Oleh karena itu, jumlah digit n diberikan oleh 1 + 3 + 6 + 7 = 17
Pertanyaan 2 - (Modified Insper-SP) Tentukan nilai ekspresi:
Resolusi
Agar notasinya lebih mudah, beri nama a = 2009 dan b = 2. ingat itu 22 = 4, jadi kita harus:
Perhatikan bahwa, dalam pembilang pecahan, kita memiliki selisih antara dua kuadrat, sehingga kita dapat menulis2 - B2 = (a + b) (a – b). Segera:
a – b = 2009 – 2 = 2007.
oleh Robson Luis
Guru matematika
Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-expressao-algebrica.htm
