Analisis kombinatorial: konsep, rumus, contoh

ITU analisis kombinatorial adalah bidang studi dalam matematika yang terkait dengan aturan berhitung. Pada awal abad ke-18, studi tentang permainan yang melibatkan dadu dan kartu membuat teori berhitung berkembang pesat.

Pekerjaan kombinatorik memungkinkan realisasi penghitungan yang semakin akurat.Prinsip dasar menghitung (PFC), faktorial dan jenis pengelompokan adalah contoh konsep yang dipelajari dalam analisis kombinatorial, yang selain memberikan lebih besar presisi membantu tidakpengembangan bidang matematika lainnya, seperti: Itu probabilitas dan HAI binomial Newton.

Baca juga: pengaturan atau çkombinasi?

Untuk apa analisis kombinatorial?

Analisis kombinatorial dikaitkan dengan proses penghitungan, yaitu, studi bidang matematika ini memungkinkan kita untuk mengembangkan alat yang membantu kita melakukan menghitung lebih efisien. Mari kita lihat masalah penghitungan tipikal, lihat:

Contoh 1

Pertimbangkan tiga kota A, B dan C yang dihubungkan oleh jalan raya R₁, R₂, R₃, R₄ dan R₅. Tentukan banyak cara yang dapat kita tempuh dari kota A ke kota C melalui kota B.

instagram story viewer

Perhatikan bahwa kita harus meninggalkan kota A dan pergi ke kota B, dan baru kemudian kita dapat melakukan perjalanan ke kota C, jadi mari kita menganalisis semua kemungkinan untuk melaksanakan acara mengikuti jalan raya.

cara pertama: R₁ → R₃

cara ke-2: R₁ → R₄

cara ke-3: R₁ → R₅

cara ke-4: R₂ → R₃

cara ke-5: R₂ → R₄

cara ke-6: R₂ → R₅

Jadi kita memiliki enam cara berbeda untuk pergi dari kota A ke kota C melalui kota B. Namun, perhatikan bahwa masalah yang diajukan relatif sederhana dan analisis yang dilakukan sedikit melelahkan. Jadi, mulai sekarang, kita akan mempelajari alat yang lebih canggih yang memungkinkan untuk menyelesaikan masalah dengan lebih sedikit pekerjaan.

Prinsip dasar penghitungan (PFC)

Pertimbangkan sebuah peristiwa E yang dapat dilakukan dalam n langkah independen dan berurutan. Sekarang, pertimbangkan bahwa jumlah kemungkinan untuk melakukan langkah pertama sama dengan P₁, bayangkan juga banyaknya kemungkinan untuk melakukan tahap kedua adalah P.₂, dan seterusnya, sampai kita mencapai tahap terakhir, yang memiliki P_tidak kemungkinan yang akan dilakukan.

Prinsip Penghitungan Dasar (PFC) menyatakan bahwa: total kemungkinan dari mengadakan acara E diberikan oleh:

P₁ ·P₂ · … · P_tidak

Jadi, totalnya diberikan oleh produk dari kemungkinan masing-masing langkah yang membentuk kejadian E. Perhatikan bahwa, untuk menentukan total kemungkinan untuk mengadakan event E, perlu diketahui total kemungkinan untuk masing-masing tahapan.

Contoh 2

Mari kita ulangi contoh 1 menggunakan prinsip dasar penghitungan.

Perhatikan gambar pada contoh 1.

Perhatikan bahwa acara dapat dijalankan dalam dua tahap, yang pertama dari kota A ke kota B, dan yang kedua dari kota B ke kota C. Untuk melakukan langkah pertama, kita memiliki dua kemungkinan (jalan R₁ dan R₂), dan untuk melakukan tahap kedua, kami memiliki tiga kemungkinan (R₃, R₄ dan R₅).

Langkah pertama → dua kemungkinan

Tahap 2 → tiga kemungkinan

Dengan prinsip dasar menghitung, kita harus berkembang biak total kemungkinan setiap langkah.

2 · 3

Oleh karena itu, untuk pergi dari kota A ke kota C melalui kota B, kita memiliki total enam kemungkinan.

Contoh 3

Berapa banyak cara ketiga medali olimpiade dapat dibagikan dalam suatu pertandingan? sepeda gunung dengan lima pesaing?

Penyelenggaraan pembagian medali merupakan kegiatan yang dapat dilakukan dalam tiga tahap. Langkah pertama adalah menganalisis total kemungkinan siapa yang akan mendapatkan medali emas, yaitu, lima kemungkinan.

Langkah kedua adalah menganalisis kemungkinan siapa yang akan mendapatkan medali perak, yaitu, empat, karena tempat pertama tidak masuk pilihan ini. Langkah ketiga adalah menganalisis total kemungkinan siapa yang akan mendapatkan medali perunggu, yaitu, tiga, karena dua yang pertama telah dipilih.

Langkah pertama → lima kemungkinan

Tahap 2 → empat kemungkinan

Tahap 3 → tiga kemungkinan

Jadi, dengan prinsip dasar penghitungan, kami memiliki:

5 · 4 · 3

60 kemungkinan

Lihat juga: Prinsip penghitungan aditif - penyatuan satu atau lebih set

Faktorial

HAI faktorial adalah cara menguraikan bilangan asli. Untuk menghitung faktorial suatu bilangan, kalikan saja dengan semua pendahulunya sampai dengan bilangan 1. Faktorial diwakili oleh tanda seru — “!”.

Lihat beberapa contoh cara menghitung faktorial dari beberapa bilangan.

Itu) 2! (baca: dua faktorial)

Untuk perhitungannya, kalikan saja angka yang menyertai faktorial dengan semua pendahulunya sampai dengan angka 1, seperti ini:

2! = 2 ·1 = 2

B) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24

) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

d) 1! = 1

Secara formal kita dapat menulis faktorial sebagai berikut:

Pertimbangkan bilangan asli n > 2. Faktorial dari n ditunjukkan oleh n! dan diberikan dengan mengalikan n dengan semua pendahulunya bilangan bulat positif.

tidak! = n (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) · … · 1

Perhatikan faktorial berikut:

4! dan 5!

Sekarang lakukan pengembangan keduanya:

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1

4! = 4 · 3 · 2 ·1

Perhatikan bahwa dalam pengembangan 5! muncul pengembangan 4!. Jadi kita bisa menulis 5! jadi:

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1

5! = 5 · 4!

Contoh 4

Hitung sek faktorialmelolong:

Lihat bahwa 15! dikembangkan sampai 13!. Perhatikan juga bahwa, dalam pembilang pecahan, unsur-unsurnya dikalikan, jadi kita bisa “memotong” 13!, yang menghasilkan hanya 15 · 14.

Pengamatan:0! = 1

Jenis Pengelompokan

Beberapa masalah penghitungan lebih kompleks dan lebih mudah diselesaikan dengan alat baru. Alat-alat ini disebut pengelompokan karena mereka mengelompokkan elemen dengan cara yang berbeda, membuat proses penghitungan lebih mudah. Pengelompokan tersebut adalah: susunan sederhana, permutasi, dan kombinasi sederhana.

pengaturan sederhana

Pertimbangkan himpunan dengan n elemen berbeda. sebut saja pengaturan dari n elemen yang diambil dari p ke p, sembarang barisan yang diurutkan oleh p, dan elemen-elemen berbeda yang dipilih di antara elemen-elemen tersebut.

Jadi, banyaknya himpunan bagian yang dibentuk oleh p elemen akan menjadi susunan n elemen yang diambil dari p ke p. Rumus yang memungkinkan kita untuk menghitung jumlah pengaturan diberikan oleh:

Contoh 5

Hitunglah nilai A_4,2 + A_5,2.

Untuk menghitung nilai ekspresi, mari tentukan masing-masing array dan kemudian tambahkan nilai-nilai itu bersama-sama. Untuk menentukan nilai setiap array, kita harus mengganti nilai-nilai dalam rumus.

Perhatikan bahwa n = 4 dan p = 2, keduanya telah disubstitusikan ke dalam rumus. Sekarang, kita harus menghitung nilai larik lima elemen yang diambil dua per dua.

Jadi, kita harus:

ITU_4,2 + A_5,2

12 + 20

Contoh 6

Berapa banyak bilangan asli empat angka berbeda yang dapat dibentuk dengan menggunakan bilangan 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9?

Dalam soal ini kita dapat menggunakan susunan sederhana, karena 2435 4235. Kita akan melihat bahwa, dalam beberapa kasus, urutan elemen tidak membedakannya, dan dengan demikian kita tidak dapat menggunakan pengaturannya.

Karena kita ingin menentukan jumlah bilangan yang dapat dibentuk, perhatikan bahwa jumlah unsurnya sama dengan delapan, dan kami ingin mengelompokkannya empat per empat, jadi:

permutasi sederhana

Pertimbangkan sebuah himpunan dengan n elemen. sebut saja permutasi sederhana dari n elemen setiap susunan n elemen diambil n ke n. Jadi kita harus:

Agar tidak ada kebingungan di antara konsep-konsep tersebut, mari kita tunjukkan permutasi sederhana dari n elemen oleh P_tidak. Jadi kita harus:

P_tidak = n!

Contoh 7

Hitung P₇ dan P₃.

Untuk menghitung permutasi ini, kita harus mengganti nilai dalam rumus. Lihat:

P₇ = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1

P₇ = 5040

P₃ = 3 · 2 · 1

P₃ = 6

Contoh 8

Tentukan berapa banyak anagram yang ada pada kata Brazil.

Kami memahami sebagai anagram semua kemungkinan transposisi dari huruf-huruf kata, misalnya, "Lisarb" adalah anagram dari kata Brasil. Untuk menentukan jumlah anagram, kita harus menghitung permutasi huruf dalam kata, jadi kita harus:

P₆ = 6!

P₆ = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

P₆ = 720

Oleh karena itu, kata Brasil memiliki 720 anagram.

Juga akses: Permutasi dengan elemen berulang

kombinasi sederhana

Pertimbangkan himpunan A dengan n elemen berbeda. sebut saja kombinasi dari n elemen diambil p ke p himpunan bagian dari A yang dibentuk oleh p elemen. Rumus untuk menghitung kombinasi diberikan oleh:

Contoh 9

Hitung kombinasi 10 elemen yang diambil dari empat menjadi empat.

Contoh 10

Berapa banyak segi empat berbeda dapatkah kita membentuk simpul di titik A, B, C, D, E dan F?

Perhatikan bahwa segiempat ABCD sama dengan segiempat CDBA dalam konteks ini, jadi kita harus menggunakan kombinasi dan bukan array. Kami memiliki total enam poin dan kami ingin menggabungkannya empat dengan empat, seperti ini:

Oleh karena itu, kita dapat membentuk 15 segi empat yang berbeda.

Analisis Kombinatorial dan Probabilitas

studi tentang Probabilitas berkaitan erat dengan studi analisis kombinatorial.. Dalam beberapa masalah probabilitas, perlu untuk menentukan ruang sampel, yang terdiri dari himpunan yang dibentuk oleh semua hasil yang mungkin dari suatu peristiwa tertentu.

Dalam beberapa kasus, ruang sampel E ditulis dengan sangat langsung, seperti pada pelemparan koin yang adil, di mana hasil yang mungkin adalah kepala atau ekor dan dilambangkan sebagai berikut:

E = {kepala, ekor}

Sekarang bayangkan situasi berikut: sebuah dadu dilempar tiga kali berturut-turut dan kita tertarik untuk menentukan ruang sampel untuk percobaan ini. Perhatikan bahwa menuliskan semua kemungkinan bukan lagi tugas yang sederhana, kita perlu menggunakan prinsip dasar penghitungan (PFC). Acara ini dapat dilakukan dalam tiga tahap, di masing-masing dari mereka kami memiliki enam kemungkinan, karena dadu memiliki enam wajah, seperti ini:

Tahap 1 → enam kemungkinan

Tahap 2 → enam kemungkinan

Tahap 3 → enam kemungkinan

Dengan PFC, kami memiliki bahwa total kemungkinan adalah:

6 · 6 · 6

216

Sehingga dapat dikatakan bahwa ruang sampel dari peristiwa tersebut adalah 216.

Lihat bahwa untuk studi probabilitas itu adalah pengetahuan dasar tentang analisis kombinatorial diperlukan., karena, tanpa menentukan ruang sampel suatu eksperimen, tidak mungkin menyelesaikan sebagian besar latihan probabilitas. Untuk lebih jelasnya tentang bidang matematika ini, baca teks:Kemungkinan.

Analisis kombinatorial juga dikaitkan dengan studi binomial.

latihan yang diselesaikan

pertanyaan 1 – Tentukan jumlah anagram dari kata kastil. Kemudian tentukan banyaknya anagram yang dimulai dengan huruf c.

Resolusi

Untuk menentukan jumlah anagram, kita harus menghitung permutasi jumlah huruf, seperti ini:

P₇ = 7!

P₇ = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

P₇ = 5040

Kata itu memiliki 5040 anagram. Nah, untuk menentukan jumlah anagram yang dimulai dengan huruf c, kita harus memperbaiki huruf tersebut dan menghitung anagram yang lainnya, lihat:

Ç__ __ __ __ __ __

Saat kita memperbaiki huruf c, perhatikan bahwa ada enam bidang yang tersisa untuk menghitung permutasi, seperti ini:

P₆ = 6!

P₆ = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

P₆ = 720

Jadi kita punya 720 anagram dari kata kastil yang berawalan huruf c.

pertanyaan 2 – Di sebuah kelas, ada lima pria dan tujuh wanita. Berapa banyak kelompok yang terdiri dari tiga pria dan empat wanita dapat dibentuk?

Resolusi

Pertama, perhatikan bahwa urutan orang yang kita pilih tidak penting, misalnya kelompok yang dibentuk oleh João, Marcos dan José adalah grup yang sama yang dibentuk oleh Marcos, João dan José, oleh karena itu, kita harus menggunakan kombinasi untuk perhitungan.

Mari kita hitung secara terpisah jumlah kelompok yang dapat dibentuk oleh pria dan wanita, dan dalam and Kemudian mari kita kalikan hasil tersebut, karena setiap kelompok laki-laki dapat bercampur dengan setiap kelompok laki-laki. perempuan.

Pria

Jumlah → 5

Jumlah dalam kelompok → 3