Memecahkan sistemlinier itu adalah tugas yang sangat berulang untuk studi di bidang ilmu alam dan matematika. Pencarian nilai yang tidak diketahui menyebabkan berkembangnya metode penyelesaian sistem linier, seperti metode penjumlahan, persamaan, dan substitusi untuk sistem yang memiliki dua persamaan dan dua tidak diketahui, dan aturan dan penskalaan Crammer, yang menyelesaikan sistem linear dari dua persamaan, tetapi lebih sesuai untuk sistem dengan lebih banyak persamaan. Sistem linier adalah himpunan dari dua atau lebih persamaan dengan satu atau lebih yang tidak diketahui.
Baca juga:Apa hubungan antara matriks dan sistem linier?
persamaan linier
Pekerjaan dengan persamaan ada karena perlu menemukan nilai yang tidak diketahui yang tidak diketahui. Kami menyebutnya persamaan ketika kami memiliki ekspresi aljabar dengan kesetaraan, dan itu diklasifikasikan sebagai linier ketika eksponen terbesar dari yang tidak diketahui adalah 1, seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut:
2x + y = 7 → persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui
a + 4 = -3 → persamaan linier dengan satu yang tidak diketahui
Secara umum, persamaan linear dapat dijelaskan dengan:
Itu1x1 +2x2 + a3x3... + atidakxtidak = c
Kita tahu sebagai sistem persamaan ketika ada lebih dari satu persamaan linier. Kita akan mulai dengan sistem linier dari dua yang tidak diketahui.
Memecahkan sistem linier
Sistem linier dengan dua persamaan derajat 1 dan dua yang tidak diketahui
Untuk menyelesaikan sistem dua persamaan dan dua yang tidak diketahui, ada beberapa: metode, tiga yang paling terkenal adalah:
- metode perbandingan
- metode penambahan
- metode substitusi
Salah satu dari ketiganya dapat menyelesaikan sistem linier dari dua persamaan dan dua yang tidak diketahui. Metode ini tidak seefisien untuk sistem dengan lebih banyak persamaan, karena ada metode khusus lainnya untuk menyelesaikannya.
Metode penggantian
Metode penggantian terdiri dari: mengisolasi salah satu yang tidak diketahui dalam salah satu persamaan dan melakukan substitusi dalam persamaan lainnya.
Contoh:
langkah pertama: mengisolasi salah satu yang tidak diketahui.
Kami menyebut I persamaan pertama dan II persamaan kedua. Menganalisis keduanya, mari pilih yang tidak diketahui yang paling mudah diisolasi. Perhatikan bahwa dalam persamaan I → x + 2y = 5, x tidak memiliki koefisien, yang membuatnya lebih mudah untuk diisolasi, jadi kita akan menulis ulang persamaan I seperti ini:
I → x + 2y = 5
Saya → x = 5 - 2y
langkah ke-2: menggantikan I di II.
Sekarang kita memiliki persamaan I dengan x saja, dalam persamaan II, kita dapat mengganti x dengan 5 – 2y.
II → 3x – 5y = 4
Mengganti x dengan 5 - 2y:
3 (5 - 2 tahun) - 5 tahun = 4
Sekarang persamaan hanya memiliki satu yang tidak diketahui, adalah mungkin untuk menyelesaikannya untuk menemukan nilai y.
Mengetahui nilai y, kita akan mencari nilai x dengan mengganti nilai y pada persamaan I.
Saya → x = 5 - 2y
x = 5 - 2 · 1
x = 5 - 2
x = 3
Jadi solusi sistemnya adalah S = {3,1}.
Metode perbandingan
Metode perbandingan terdiri dari mengisolasi yang tidak diketahui dalam dua persamaan dan menyamakan nilai-nilai ini.
Contoh:
langkah pertama: biarkan saya menjadi persamaan pertama dan II yang kedua, mari kita mengisolasi salah satu yang tidak diketahui di I dan II. Memilih untuk mengisolasi x yang tidak diketahui, kita harus:
langkah ke-2: samakan kedua persamaan baru, karena x = x.
langkah ke-3: ganti nilai y dengan -2 di salah satu persamaan.
x = -4 - 3y
x = -4 - 3 (-2)
x = -4 + 6
x = 2
Jadi solusi dari sistem ini adalah himpunan S = {2,-2}.
Lihat juga: Apa perbedaan antara fungsi dan persamaan?
metode penambahan
Metode penambahan terdiri dari melakukan perkalian semua suku dari salah satu persamaan, sedemikian rupa sehingga, ketika menambahkan persamaan I ke persamaan II, salah satu yang tidak diketahui sama dengan nol.
Contoh:
langkah pertama: kalikan salah satu persamaan sehingga koefisiennya berlawanan.
Perhatikan bahwa jika kita mengalikan persamaan II dengan 2, kita memiliki 4y dalam persamaan II dan -4y dalam persamaan I, dan dengan kita tambahkan I + II, kita dapatkan 0y, jadi mari kita kalikan semua suku dalam persamaan II dengan 2 sehingga ini terjadi.
I → 5x – 4y = -5
2 · II → 2x + 4y = 26
langkah ke-2: melakukan penjumlahan I + 2 · II.
langkah ke-3: ganti nilai x = 3 ke salah satu persamaan.
Sistem linier dengan tiga persamaan derajat 1 dan tiga yang tidak diketahui
Ketika sistem memiliki tiga yang tidak diketahui, kami mengadopsi metode penyelesaian lainnya. Semua metode ini menghubungkan koefisien dengan matriks, dan metode yang paling sering digunakan adalah aturan atau penskalaan Crammer. Untuk resolusi pada kedua metode tersebut diperlukan representasi matriks dari sistem, termasuk sistem 2x2 yang dapat direpresentasikan dengan menggunakan matriks. Ada dua kemungkinan representasi, matriks lengkap dan matriks tidak lengkap:
Contoh:
Sistem
Dapat diwakili oleh matriks penuh
Dan untuk matriks tidak lengkap
Aturan Crammer
Untuk menemukan solusi untuk sistem 3x3, dengan x, y dan z yang tidak diketahui, menggunakan Aturan Crammer, perlu untuk menghitung determinan matriks tidak lengkap dan variasinya. Jadi kita harus:
D → penentu matriks tidak lengkap dari sistem.
Dx → determinan matriks yang tidak lengkap dari sistem, menggantikan kolom x dengan kolom istilah independen.
Dkamu → determinan matriks tidak lengkap dari sistem, menggantikan kolom y dengan kolom istilah independen.
Dz → determinan matriks yang tidak lengkap dari sistem, menggantikan kolom z dengan kolom istilah independen.
Jadi, untuk menemukan nilai yang tidak diketahui, pertama-tama kita perlu menghitung calculate penentu DDx, Dkamu terkait dengan sistem.
Contoh:
langkah pertama: menghitung D
langkah ke-2: hitung Dx.
langkah ke-3: maka kita dapat menemukan nilai x, karena:
langkah ke-4: hitung Dy.
langkah ke-5: maka kita dapat menghitung nilai y:
langkah ke-6: sekarang kita tahu nilai x dan y, di kedua baris kita dapat menemukan nilai z dengan mengganti nilai x dan y dan mengisolasi z. Pilihan lain adalah menghitung Dz.
Substitusi x = 0 dan y = 2 pada persamaan pertama:
2x + y - z = 3
2 · 0 + 2 – z = 3
0 + 2 - z = 3
-z = 3 - 2
-z = -1 (-1)
z = -1
Oleh karena itu, solusi sistemnya adalah tender (0.2,-1).
Juga akses: Pemecahan masalah dengan sistem persamaan
penskalaan
Metode lain untuk menyelesaikan sistem linier adalah penskalaan, di mana kita hanya menggunakan matriks lengkap dan operasi antar garis untuk mengisolasi yang tidak diketahui. Mari kita skala sistem di bawah ini.
langkah pertama: tulis matriks lengkap yang mewakili sistem tersebut.
jadilah L1, L2 dan saya3 masing-masing garis 1, 2 dan 3 dari matriks, kami akan melakukan operasi antara L1 dan saya2 dan saya1 dan saya3, sehingga hasilnya membuat suku-suku yang ada di kolom pertama baris kedua dan ketiga sama dengan nol.
Menganalisis baris kedua dari matriks, mari kita ganti dengan hasil dari L2 → -2 · L1 + L2, sehingga suku a21 menjadi nol.
Itu21 = -2 · 1 + 2 = 0
Itu22 = -2 · 2 + 1 = -3
Itu23 = -2 · (-3) + 1 = 7
Itu24 =-2 · 10 + 3 = -17
Jadi L2 akan menjadi 0 -3 7 -17.
Menganalisis baris ketiga matriks, mari kita ganti dengan hasil L3 → 3L1 + L2, untuk mengatur ulang istilah menjadi31.
Itu31 = 3 · 1 – 3 = 0
Itu32 = 3 · 2 + 2 = 8
Itu33 = 3 · (-3) +1 = -8
Itu34 = 3 · 10 – 6 = 24
Jadi L3 akan menjadi 0 8 -8 24.
Perhatikan bahwa semua habis dibagi 8, sehingga garis L3 sederhanakan, mari kita bagi dengan 8.
L3 → L3 : 8 akan menjadi: 0 1-1 3.
Jadi matriks baru dari persamaan berskala adalah:
Sekarang tujuannya adalah untuk mengatur ulang kolom y di baris ketiga, kami akan melakukan operasi antara L2 dan saya3, dengan tujuan mengatur ulang kolom kedua salah satunya.
Kami akan mengganti L3 dengan L3 → L2 + 3L3.
Itu31 = 0 + 3 · 0 = 0
Itu32 = -3 + 3 · 1 = 0
Itu33 = 7 + 3 · (-1) = 4
Itu34 = -17 + 3 · 3 = -8
Jadi L3 akan menjadi: 0 0 4 -8.
Matriks berskala baru akan menjadi:
Sekarang, ketika kita merepresentasikan matriks ini sebagai sebuah sistem lagi, menambahkan x, y dan z ke kolom, kita akan menemukan yang berikut:
Kami kemudian dapat menemukan nilai dari masing-masing yang tidak diketahui. Menganalisis persamaan III, kita harus:
Jika z = -2, substitusikan nilai z ke persamaan kedua:
Terakhir, pada persamaan pertama, substitusikan nilai y dan z untuk mencari nilai x.
Lihat juga: Sistem ketidaksetaraan tingkat 1 – bagaimana cara mengatasinya?
klasifikasi sistem linier
Sistem linier adalah seperangkat persamaan linier, yang mungkin memiliki beberapa yang tidak diketahui dan beberapa persamaan. Ada beberapa metode untuk menyelesaikannya, berapa pun jumlah persamaannya. ada tiga peringkat untuk sistem linier.
- Sistem yang mungkin ditentukan (SPD): ketika Anda memiliki satu solusi.
- Sistem kemungkinan yang tidak ditentukan (SPI): ketika memiliki solusi tak terbatas.
- sistem yang tidak mungkin(SI): ketika tidak ada solusi.
latihan yang diselesaikan
pertanyaan 1 (IFG 2019) Pertimbangkan jumlah pengukuran alas dan tinggi relatif terhadap alas segitiga yang sama dengan 168 cm dan selisihnya sama dengan 24 cm. Benar untuk menyatakan bahwa pengukuran alas dan tinggi relatif terhadap ukuran alas ini, berturut-turut:
a) 72 cm dan 96 cm
b) 144 cm dan 24 cm
c) 96 cm dan 72 cm
d) 24 cm dan 144 cm
Resolusi
Alternatif C.
Misalkan h → tinggi dan b → alas, maka kita memiliki sistem berikut:
Dengan metode penjumlahan, kita harus:
Untuk mencari nilai h, substitusikan b = 96 cm ke persamaan pertama:
b + j = 168
96 + j = 168
j = 168 - 96
t = 72 cm
pertanyaan 2 Matriks tidak lengkap yang mewakili sistem linier berikut adalah:
Resolusi
Alternatif C.
Matriks tidak lengkap adalah matriks yang memiliki koefisien x, y dan z, sehingga menjadi matriks 3x3. Menganalisis alternatif, yang berisi matriks 3x3 dengan tanda yang benar adalah huruf C.
Oleh Raul Rodrigues de Oliveira
Guru matematika
Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm