Teorema Dekomposisi Polinomial

Teorema dasar aljabar untuk persamaan polinomial menjamin bahwa polinomial setiap derajat n 1 memiliki setidaknya satu akar kompleks". Bukti teorema ini dibuat oleh matematikawan Friedrich Gauss pada tahun 1799. Dari situ, kita dapat mendemonstrasikan teorema dekomposisi polinomial, yang menjamin bahwa setiap polinomial dapat didekomposisi menjadi faktor tingkat pertama. Ambil polinomial berikut p(x) kelas n 1 dan_tidak ≠ 0:

p(x) = a_tidak x^tidak +_n-1 x^n-1 + … +₁x¹ +₀

Melalui teorema dasar aljabar, kita dapat menyatakan bahwa polinomial ini memiliki setidaknya satu akar kompleks. kamu₁, seperti yang p(u₁) = 0. HAI Teorema D'Alembert ke pembagian polinomial menyatakan bahwa jika p(u₁) = 0, kemudian p(x) habis dibagi (x - u₁), menghasilkan hasil bagi apa₁(x), yang merupakan polinomial derajat (n - 1), yang menuntun kita untuk mengatakan:

p (x) = (x - u₁). apa₁(x)

Dari persamaan ini, perlu untuk menyoroti dua kemungkinan:

Jika u = 1 dan apa₁(x) adalah polinomial derajat (n - 1), kemudian apa₁(x) memiliki gelar

0. Sebagai koefisien dominan dari p(x) é Itu_tidak, apa₁(x) adalah polinomial tipe konstan apa₁(x)=Itu_tidak. Jadi kita punya:

p (x) = (x - u₁). apa₁(x)
(x) = (x - u₁). Itu_tidak
p(x) = a_tidak . (x - u₁)

Tapi jika kamu 2, maka polinomial apa₁ memiliki gelar n - 1 1 dan teorema dasar aljabar berlaku. Kita dapat mengatakan bahwa polinomial apa₁ memiliki setidaknya satu akar tidak₂, yang membuat kita mengatakan bahwa apa₁ dapat ditulis sebagai:

apa₁(x) = (x - u₂). apa₂(x)

tapi bagaimana caranya p (x) = (x - u₁). apa₁(x), kita dapat menulis ulang sebagai:

p (x) = (x - u₁). (x - u₂). apa₂(x)

Berturut-turut mengulangi proses ini, kita akan memiliki:

p(x) = a_tidak. (x - u₁). (x - u₂) … (x – u_tidak)

Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa setiap persamaan polinomial atau polinomial p(x) = 0 kelas n 1 memiliki persis tidak akar kompleks.​

Contoh: Menjadi p(x) polinomial derajat 5, sehingga akar-akarnya adalah – 1, 2, 3, – 2 dan 4. Tulis polinomial ini didekomposisi menjadi faktor derajat 1, dengan mempertimbangkan koefisien dominan sama dengan 1. Itu harus ditulis dalam bentuk diperpanjang:

jika – 1, 2, 3, – 2 dan 4 adalah akar dari polinomial, sehingga produk dari perbedaan x untuk masing-masing akar ini menghasilkan p(x):

p(x) = a_tidak.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)

Jika koefisien dominan Itu_tidak = 1, kita punya:

p (x) = 1.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p (x) = (x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p (x) = (x² - x - 2).(x - 3).(x + 2).(x - 4)
p (x) = (x³ – 4x² + x + 6).(x + 2).(x – 4)
p(x) = (x⁴ – 2x³ – 7x² + 8x + 12).(x – 4)
p(x) = x⁵ – 6x⁴ + x³ + 36x² - 20x - 48

Oleh Amanda Gonçalves
Lulus matematika

Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm