Perkalian matriks: cara menghitung, contoh

ITU sayaperkalian matriks dilakukan melalui algoritma yang membutuhkan banyak perhatian. Agar produk antara matriks A dan matriks B ada, diperlukan jumlah kolom memberi pertama markas besar, dalam hal A, sama dengan banyaknya garis memberi Senin markas besar, dalam kasus B

Dari perkalian antar matriks dapat diketahui apa itu matriks identitas, yaitu elemen netral dari perkalian matriks, dan apa matriks invers dari matriks M, yaitu matriks M^-1 yang produk M oleh M^-1 sama dengan matriks identitas. Dimungkinkan juga untuk mengalikan matriks dengan bilangan real — dalam hal ini, kita mengalikan setiap suku dari markas besar dengan nomor.

Baca juga: Apa itu matriks segitiga?

kondisi keberadaan

Perkalian antar matriks merupakan proses yang menuntut banyak perhatian.

Untuk mengalikan dua matriks, pertama-tama perlu untuk memeriksa kondisi keberadaannya. Agar produk tetap ada, jumlah kolom pada matriks pertama harus sama dengan jumlah baris pada matriks kedua. Juga, hasil perkalian adalah matriks yang memiliki jumlah baris yang sama dengan matriks pertama dan jumlah kolom yang sama dengan matriks kedua.

Misalnya, produk AB antara matriks A_3x2 dan B_2x5 ada karena jumlah kolom di A (2 kolom) sama dengan jumlah baris di B (2 baris), dan hasilnya adalah matriks AB_3x5. Sudah produk antara matriks C_3x5 dan matriks D_2x5 tidak ada, karena C memiliki 5 kolom dan D memiliki 3 baris.

Bagaimana cara menghitung produk antara dua matriks?

Untuk melakukan perkalian matriks, perlu mengikuti beberapa langkah. Kami akan membuat contoh perkalian matriks aljabar A_2x3 dengan matriks B_3x2

Kami tahu produk itu ada, karena matriks A memiliki 3 kolom, dan matriks B, 3 baris. Kami akan menyebut C hasil perkalian A·B. Selain itu, kita juga tahu bahwa hasilnya adalah matriks C._2x2, karena matriks A memiliki 2 baris, dan matriks B, 2 kolom.

Untuk menghitung produk matriks A_2x3 dan matriks B_3x2, yuk ikuti beberapa langkahnya.

Pertama, kita akan menemukan masing-masing suku dari matriks C_2x2:

Untuk menemukan istilahnya, mari selalu hubungkan baris matriks A dengan kolom matriks B:

ç₁₁ → baris pertama A dan kolom 1 B
ç₁₂ → baris pertama A dan kolom ke-2 B
ç₂₁ → baris ke-2 A dan kolom 1 B
ç₂₂ → baris ke-2 A dan kolom ke-2 B

Kita menghitung setiap suku dengan mengalikan suku pada baris A dan suku pada kolom B. Sekarang kita harus menambahkan produk ini, dimulai dengan starting ç_11:

baris pertama A
kolom 1 B

ç₁₁ = Itu₁₁·B₁₁ + Itu₁₂·B₂₁+ Itu₁₃·B₃₁

menghitung ç₁₂:

baris pertama A
kolom ke-2 B

ç₁₂ = Itu₁₁·B₁₂ + Itu₁₂·B₂₂+Itu₁₃·B₃₂

menghitung ç₂₁:

baris ke-2 A
kolom 1 B

ç₂₁ = Itu₂₁·B₁₁ + Itu₂₂·B₂₁+Itu₂₃·B₃₁

menghitung suku ç₂₂:

baris ke-2 A
kolom ke-2 B

ç₂₂ = Itu₂₁·B₁₂ + Itu₂₂·B₂₂+Itu₂₃·B₃₂

Jadi, matriks C dibentuk dengan suku-suku:

Contoh:

Mari kita hitung perkalian antara matriks A dan B.

Kita tahu bahwa di A_2x2 dan B_2x3, jumlah kolom di kolom pertama sama dengan jumlah baris di kolom kedua, jadi produknya ada. Jadi kita akan membuat C = A· B dan kita tahu bahwa C_2x3.

Mengalikan, kita harus:

Lihat juga: Apa yang dimaksud dengan matriks transpos?

matriks identitas

Dalam perkalian antar matriks, ada beberapa kasus khusus, seperti matriks identitas, yang merupakan elemen netral dari perkalian antara matriks.. Matriks identitas adalah matriks persegi, yaitu jumlah baris selalu sama dengan jumlah kolom. Selanjutnya, hanya suku-suku diagonal yang sama dengan 1 di dalamnya, dan suku-suku lainnya semuanya sama dengan nol. Ketika kita mengalikan matriks M dengan matriks identitas I_tidak, Kita harus:

M · saya_tidak = M

Matriks identitas dari orde 2 ke orde 5

Contoh:

Apa matriks terbalik?

Diberikan matriks M, kita mengenalnya sebagai matriks invers dari M. matriks M^-1yang produknya M · M^-1 sama dengan à matriks identitas I_tidak. Agar suatu matriks memiliki invers, matriks tersebut harus persegi, dan penentu harus berbeda dari 0. Mari kita lihat contoh matriks yang invers:

Menghitung produk A·B, kita harus:

Perhatikan bahwa produk antara A dan B menghasilkan matriks I₂. Ketika ini terjadi, kita katakan bahwa B adalah matriks invers dari A. Untuk mempelajari lebih lanjut tentang jenis matriks ini, baca: Matriks terbalik.

Perkalian matriks dengan bilangan real

Tidak seperti perkalian antar matriks, ada juga perkalian matriks dengan satu bilangan asli, yang merupakan operasi yang jauh lebih sederhana untuk menemukan solusinya.

Diberikan matriks M, mengalikan matriks dengan bilangan real k sama dengan matriks kM. Untuk menemukan matriks ini kM, cukup kalikan semua suku dalam matriks dengan konstanta k.

Contoh:

jika k = 5 dan perhatikan matriks M di bawah ini, cari matriks 5M.

Mengalikan:

latihan yang diselesaikan

Pertanyaan 1 - (Unitau) Diketahui matriks A dan B,

nilai elemen c₁₁ matriks C = AB adalah:

A) 10.

B) 28.

C.)38.

D.) 18.

E) 8.

Resolusi

Alternatif A

Bagaimana kita menginginkan istilah c₁₁, mari kalikan suku pada baris pertama dan A dengan suku pada kolom pertama B.

menghitung c₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

Pertanyaan 2 - (Enem 2012) Seorang siswa mendaftarkan nilai dua bulanan dari beberapa mata pelajarannya dalam sebuah tabel. Dia mencatat bahwa entri numerik dalam tabel membentuk matriks 4x4, dan dia dapat menghitung rata-rata tahunan untuk disiplin ilmu ini menggunakan produk matriks. Semua tes memiliki bobot yang sama, dan tabel yang didapatnya ditunjukkan di bawah ini.

Untuk mendapatkan rata-rata ini, ia mengalikan matriks yang diperoleh dari tabel dengan matriks:

Resolusi

Alternatif E

Rata-rata tidak lebih dari jumlah elemen dibagi dengan jumlah elemen. Perhatikan bahwa ada 4 nada per baris, jadi rata-ratanya adalah jumlah nada tersebut dibagi 4. Membagi dengan 4 sama dengan mengalikan dengan pecahan ¼. Juga, matriks nilai adalah matriks 4x4, jadi kita harus mengalikan dengan matriks 4x1, yaitu memiliki 4 baris dan 1 kolom, untuk menemukan matriks yang memiliki rata-rata nilai.

Oleh Raul Rodrigues de Oliveira
Guru matematika

Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm