ITU markas besar itu biasanya digunakan untuk mengatur data tabular untuk memfasilitasi pemecahan masalah. Informasi matriks, baik numerik maupun tidak, tersusun rapi dalam baris dan kolom.
Himpunan matriks yang dilengkapi dengan operasi tambahan, pengurangan dan perkalian dan fitur, sebagai elemen netral dan terbalik, membentuk struktur matematika yang memungkinkan penerapannya di berbagai bidang dari bidang pengetahuan yang luas ini.
Lihat juga: Hubungan antara matriks dan sistem linier
Representasi matriks
Sebelum memulai studi tentang matriks, perlu dibuat beberapa notasi mengenai representasinya. Di matriks selalu dilambangkan dengan huruf kapital. (A, B, C…), yang disertai dengan indeks, di mana nomor pertama menunjukkan jumlah baris, dan yang kedua, jumlah kolom.
ITU jumlah baris (baris horizontal) dan kolom (baris vertikal) dari suatu matriks menentukan memesan. Matriks A berorde m kali n. Informasi yang terkandung dalam array disebut elemen dan diatur dalam tanda kurung, kurung siku atau dua batang vertikal, lihat contohnya:
Matriks A memiliki dua baris dan tiga kolom, sehingga urutannya adalah dua per tiga → A2x3.
Matriks B memiliki satu baris dan empat kolom, sehingga urutannya satu per empat, sehingga disebut matriks garis → B1x4.
Matriks C memiliki tiga baris dan satu kolom, sehingga disebut matriks kolom dan ordenya tiga per satu → C3x1.
Secara umum, kita dapat merepresentasikan elemen array, yaitu, kita dapat menulis elemen ini menggunakan representasi matematis. HAIelemen generik akan diwakili oleh huruf kecil (a, b, c…), dan, seperti dalam representasi array, ia juga memiliki indeks yang menunjukkan lokasinya. Angka pertama menunjukkan baris tempat elemen itu berada, dan angka kedua menunjukkan kolom tempat elemen itu berada.
Perhatikan matriks A berikut ini, kita akan mencantumkan elemen-elemennya.
Mengamati elemen pertama yang terletak di baris pertama dan kolom pertama, yaitu di baris satu dan kolom satu, kita memiliki angka 4. Untuk mempermudah penulisan, kami akan menandainya dengan:
Itu11 → elemen baris satu, kolom satu
Jadi kita memiliki elemen berikut dari matriks A2x3:
Itu11 = 4
Itu12 =16
Itu13 = 25
Itu21 = 81
Itu22 = 100
Itu23 = 9
Secara umum, kita dapat menulis array sebagai fungsi dari elemen generiknya, ini adalah matriks umum.
Sebuah matriks m baris dan n kolom diwakili oleh:
Contoh
Tentukan matriks A = [aaku j ]2x2, yang memiliki hukum pelatihan berikut untuk:aku j = j2 – 2i. Dari data pernyataan tersebut diperoleh bahwa matriks A berorde dua, yaitu memiliki dua garis dan dua kolom, oleh karena itu:
Selain itu, hukum pembentukan matriks diberikan, yaitu, setiap elemen puas dengan hubunganaku j = j2 – 2i. Mengganti nilai i dan j dalam rumus, kami memiliki:
Itu11 = (1)2 - 2(1) = -1
Itu12 = (2)2 - 2(1) = 2
Itu21 = (1)2 - 2(2) = -3
Itu22 = (2)2 - 2(2) = 0
Jadi, matriks A adalah:
Tipe Array
Beberapa matriks patut mendapat perhatian khusus, lihat sekarang ini jenis array dengan contoh.
matriks persegi
Suatu matriks berbentuk bujur sangkar jika jumlah baris sama dengan jumlah kolom. Kami mewakili matriks yang memiliki n baris dan n kolom dengan Atidak (dibaca: matriks bujur sangkar orde n).
Dalam matriks persegi, kita memiliki dua elemen yang sangat penting, yaitu diagonal: utama dan sekunder. Diagonal utama dibentuk oleh elemen-elemen yang memiliki indeks yang sama, yaitu setiap elemen aaku j dengan i = j. Diagonal sekunder dibentuk oleh elemen aaku j dengan i + j = n +1, di mana n adalah orde matriks.
matriks identitas
Matriks identitas adalah matriks persegi yang memiliki semuakamuelemen diagonal utama sama dengan 1 dan elemen lain sama dengan 0, hukum pembentukannya adalah:
Kami menyatakan matriks ini dengan I, di mana n adalah urutan matriks persegi, lihat beberapa contoh:
matriks satuan
Ini adalah matriks persegi orde satu, yaitu memiliki baris dan kolom dan, oleh karena itu, hanya satu elemen.
A = [-1]1x1, B = I1 = (1)1x1 dan C = || 5||1x1
Ini adalah contoh matriks satuan, dengan penekanan pada matriks B, yaitu a matriks identitas satuan.
matriks nol
Suatu array dikatakan null jika semua elemennya sama dengan nol. Kami mewakili matriks nol dengan orde m oleh n oleh Omxn.
Matriks O adalah nol dari orde 4.
matriks berlawanan
Pertimbangkan dua matriks orde yang sama: A = [aaku j]mxn dan B = [baku j]mxn. Matriks-matriks ini akan disebut berlawanan jika, dan hanya jika,aku j = -baku j. Jadi, elemen yang sesuai harus angka berlawanan.
Kita dapat merepresentasikan matriks B = -A.
matriks yang dialihkan
Dua matriks A = [aaku j]mxn dan B = [baku j]nxm mereka dialihkan jika, dan hanya jika,aku j = bJi , yaitu, diberikan matriks A, untuk menemukan transposnya, ambil saja garis-garisnya sebagai kolom.
Transpos matriks A dilambangkan dengan AT. Lihat contohnya:
Lihat lebih banyak: Matriks terbalik: apa itu dan bagaimana memverifikasi
Operasi matriks
Himpunan matriks memiliki operasi apenjumlahan dan perkalian yang terdefinisi dengan sangat baik, yaitu, setiap kali kita mengoperasikan dua atau lebih matriks, hasil operasi tersebut masih termasuk dalam himpunan matriks. Namun, bagaimana dengan operasi pengurangan? Kami memahami operasi ini sebagai kebalikan dari penjumlahan (matriks berlawanan), yang juga didefinisikan dengan sangat baik.
Sebelum mendefinisikan operasi, mari kita pahami ide-ide dari elemen yang sesuai dan persamaan matriks. Unsur-unsur yang bersesuaian adalah unsur-unsur yang menempati kedudukan yang sama pada matriks-matriks yang berbeda, yaitu terletak pada baris dan kolom yang sama. Jelas array harus memiliki urutan yang sama agar elemen yang cocok ada. Lihat:
Elemen 14 dan -14 adalah elemen yang bersesuaian dari matriks A dan B yang berlawanan, karena menempati posisi yang sama (baris dan kolom yang sama).
Dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika elemen-elemen yang bersesuaian sama. Jadi, diberikan matriks A = [aaku j]mxn dan B = [baku j]mxn, ini akan sama jika, dan hanya jika,aku j = baku j untuk setiap i j.
Contoh
Mengetahui bahwa matriks A dan B adalah sama, tentukan nilai x dan t.
Karena matriks A dan B adalah sama, maka elemen-elemen yang bersesuaian harus sama, oleh karena itu:
x = -1 dan t = 1
Penjumlahan dan pengurangan matriks
Operasi dari penjumlahan dan pengurangan antar matriks mereka cukup intuitif, tetapi pertama-tama suatu kondisi harus dipenuhi. Untuk melakukan operasi ini, pertama-tama perlu untuk memverifikasi bahwa: urutan array adalah sama.
Setelah kondisi ini diverifikasi, penjumlahan dan pengurangan matriks dilakukan dengan menambahkan atau mengurangkan elemen-elemen matriks yang bersesuaian. Perhatikan matriks A = [aaku j]mxn dan B = [baku j]mxn, kemudian:
A + B = [aaku j + baku j] mxn
A - B = [aaku j - Baku j] mxn
Contoh
Perhatikan matriks A dan B di bawah ini, tentukan A + B dan A – B.
Baca juga: Operasi bilangan bulat
Perkalian bilangan real dengan matriks
Perkalian bilangan real dalam matriks (juga dikenal sebagai perkalian matriks) dengan skalar diberikan dengan mengalikan setiap elemen matriks dengan skalar.
Misalkan A = [aaku j]mxn matriks dan t bilangan real, jadi:
t · A = [t · aaku j]mxn
Lihat contohnya:
perkalian matriks
Perkalian matriks tidak semudah penjumlahan dan pengurangannya. Sebelum melakukan perkalian, suatu kondisi juga harus dipenuhi mengenai orde matriks. Pertimbangkan matriks Amxn dan Bnxr.
Untuk melakukan perkalian, jumlah kolom pada matriks pertama harus sama dengan jumlah baris pada matriks kedua. Matriks hasil kali (yang berasal dari perkalian) memiliki urutan yang diberikan oleh jumlah baris pada baris pertama dan jumlah kolom pada baris kedua.
Untuk melakukan perkalian antara matriks A dan B, kita harus mengalikan setiap baris dengan semua kolom sebagai berikut: elemen pertama dari A dikalikan dengan elemen pertama B dan kemudian ditambahkan ke elemen kedua A dan dikalikan dengan elemen kedua B, dan seterusnya berturut-turut. Lihat contohnya:
Baca juga: Teorema Laplace: tahu bagaimana dan kapan menggunakannya
latihan yang diselesaikan
pertanyaan 1 – (U DAN. Londrina – PR) Misalkan matriks A dan B berturut-turut adalah 3 x 4 dan p x q, dan jika matriks A · B berorde 3 x 5, maka benar bahwa:
a) p = 5 dan q = 5
b) p = 4 dan q = 5
c) p = 3 dan q = 5
d) p = 3 dan q = 4
e) p = 3 dan q = 3
Larutan
Kami memiliki pernyataan bahwa:
ITU3x4 · Bpxq = C3x5
Dari syarat untuk mengalikan dua matriks, kita mendapatkan bahwa hasil kali hanya ada jika jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua, jadi p = 4. Dan kita juga tahu bahwa matriks produk diberikan oleh jumlah baris di baris pertama dengan jumlah kolom di baris kedua, jadi q = 5.
Oleh karena itu, p = 4 dan q = 5.
A: Alternatif b
Pertanyaan 2 - (Vunesp) Tentukan nilai x, y, dan z, pada persamaan berikut yang melibatkan 2 x 2 matriks real.
Larutan
Mari kita lakukan operasi antara array dan kemudian persamaan di antara mereka.
Untuk menentukan nilai x, y dan z, kita akan menyelesaikan sistem linier. Awalnya, mari kita tambahkan persamaan (1) dan (2).
2x – 4= 0
2x = 4
x = 2
Mengganti nilai x yang ditemukan dalam persamaan (3), kami memiliki:
22 = 2z
2z = 4
z = 2
Dan akhirnya, dengan mensubstitusi nilai x dan z yang ditemukan dalam persamaan (1) atau (2), kita mendapatkan:
x + y - z = 0
2 +y – 2 = 0
y=0
Oleh karena itu, solusi untuk masalah tersebut diberikan oleh S = {(2, 0, 2)}.
oleh Robson Luis
Guru matematika