Satu deret aritmatika (PA) adalah urutan numerik di mana setiap istilah adalah jumlah dari yang sebelumnya dengan konstanta, yang disebut rasio. Mereka ada ekspresi matematika untuk menentukan suku PA dan menghitung jumlah dari tidak istilah pertama.
Rumus yang digunakan untuk menghitung jumlah istilah dari PA terbatas atau jumlah dari tidak syarat pertama PA adalah sebagai berikut:
stidak = di1 +tidak)
2
*n adalah jumlah istilah BP; Itu1 adalah suku pertama, dantidak adalah yang terakhir.
Asal dari jumlah persyaratan PA
Dikatakan bahwa matematikawan Jerman Carl Friederich Gauss, pada usia sekitar 10 tahun, dihukum dengan kelasnya di sekolah. Guru menyuruh siswa untuk menjumlahkan semua bilangan yang muncul di urutan dari 1 sampai 100.
Gauss bukan hanya yang pertama finis dalam waktu yang sangat singkat, dia juga satu-satunya yang mendapatkan hasil yang benar (5050). Selanjutnya, itu tidak menunjukkan perhitungan apa pun. Apa yang dia lakukan adalah memperbaiki properti berikut:
Jumlah dua suku yang berjarak sama dari ekstrem PA hingga sama dengan jumlah ekstrem.
Tidak ada pengetahuan tentang PANCI pada saat itu, tetapi Gauss melihat daftar angka dan menyadari bahwa menambahkan yang pertama ke yang terakhir akan menghasilkan 101; menambahkan detik ke kedua dari belakang, hasilnya juga akan menjadi 101 dan seterusnya. Sebagai jumlah dari semua pasangan suku sama jauh dari ekstrem mencapai 101, Gauss hanya perlu mengalikan angka itu dengan setengah suku yang tersedia untuk menemukan hasil 5050.
Perhatikan bahwa dari angka 1 hingga angka 100, ada tepat 100 angka. Gauss menyadari bahwa jika dia menambahkannya dua per dua, dia akan mendapatkan 50 hasil sama dengan 101. Oleh karena itu, perkalian ini dilakukan dengan setengah dari total suku.
Demonstrasi jumlah suku PA
Prestasi ini memunculkan ekspresi yang digunakan untuk menghitung jumlah dari tidak suku pertama PA. Taktik yang digunakan untuk sampai pada ungkapan ini adalah sebagai berikut:
diberikan satu PANCI apapun, kita akan menambahkan n suku pertamanya. Secara matematis, kita akan memiliki:
stidak = itu1 +2 +3 + … +n – 2 +n - 1 +tidak
Tepat di bawah ini jumlah istilah, kami akan menulis yang lain, dengan istilah yang sama seperti yang sebelumnya, tetapi dalam arti yang menurun. Perhatikan bahwa jumlah suku pada suku pertama sama dengan jumlah suku pada suku kedua. Oleh karena itu, keduanya disamakan dengan Stidak.
stidak = itu1 +2 +3 + … +n – 2 +n - 1 +tidak
stidak = itutidak +n - 1 +n – 2 + … +3 +2 +1
Perhatikan bahwa dua ekspresi ini diperoleh dari satu PANCI dan bahwa istilah yang berjarak sama disejajarkan secara vertikal. Oleh karena itu, kita dapat menambahkan ekspresi untuk mendapatkan:
stidak = itu1 +2 +3 + … +n – 2 +n - 1 +tidak
+ stidak = itutidak +n - 1 +n – 2 + … +3 +2 +1
2Stidak = (1 +tidak) + (a2 +n - 1) + … + (an - 1 +2) + (atidak +1)
Ingatlah bahwa jumlah suku yang berjarak sama dari ekstrem sama dengan jumlah ekstrem. Oleh karena itu, setiap kurung dapat diganti dengan jumlah ekstrem, seperti yang akan kita lakukan selanjutnya:
2Stidak = (1 +tidak) + (a1 +tidak) +... + (itu1 +tidak) + (a1 +tidak)
Gagasan Gauss adalah menambahkan suku-suku barisan yang berjarak sama. Jadi dia mendapat setengah jumlah persyaratan dari PANCI dalam hasil 101. Kami membuatnya sehingga setiap suku dari BP awal ditambahkan ke nilai jarak yang sama, mempertahankan jumlah istilah. Jadi, karena PA memiliki n suku, kita dapat mengubah jumlah, dalam ekspresi di atas, dengan perkalian dan menyelesaikan persamaan mencari:
2Stidak = (1 +tidak) + (a1 +tidak) +... + (itu1 +tidak) + (a1 +tidak)
2Stidak = n (a1 +tidak)
stidak = di1 +tidak)
2
Ini persis rumus yang digunakan untuk menambahkan tidak syarat pertama PA.
Contoh
Diketahui P.A (1, 2, 3, 4), tentukan jumlah 100 suku pertamanya.
Larutan:
Kita perlu menemukan istilah a100. Untuk ini, kita akan menggunakan rumus istilah umum dari sebuah PA:
Itutidak = itu1 + (n – 1)r
Itu100 = 1 + (100 – 1)1
Itu100 = 1 + 99
Itu100 = 100
Sekarang rumus untuk menjumlahkan n suku pertama:
stidak = di1 +tidak)
2
s100 = 100(1 + 100)
2
s100 = 100(101)
2
s100 = 10100
2
s100 = 5050
Oleh Luiz Paulo Moreira
Lulus matematika
Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm
