Bilangan asli: pelajari lebih lanjut tentang himpunan ini!

Kamu bilangan asli adalah set numerik pertama yang diperhitungkan, secara historis. Mereka muncul dari perlu menghitung dari manusia. Himpunan bilangan asli memiliki elemen bilangan positif dan bilangan bulat, seperti 1, 2, 3, 4, …. Himpunan ini memiliki operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, potensiasi dan radiasi.

Apa itu bilangan asli?

bilangan asli adalah bilangan sangat positif yang tidak memiliki koma, yaitu mewakili kuantitas seluruh. Himpunan bilangan asli dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Himpunan bilangan asli adalah set tak terbatas, yaitu, diberikan bilangan asli apa pun, setidaknya ada satu bilangan yang lebih besar darinya. Lihat beberapa contoh elemen yang termasuk dan tidak termasuk dalam himpunan ini.

Dari contoh di atas, kita mengetahui bahwa bilangan 10, 2, dan 100 termasuk dalam himpunan asli, dan bilangan 1,65, –2 dan 0 tidak termasuk dalam himpunan asli.

Baca juga: Fakta Menarik Tentang Membagi Bilangan Asli

Penerus bilangan asli

Himpunan bilangan asli adalah yang pertama kita pelajari di sekolah.

instagram story viewer

Seperti yang kami katakan di atas, himpunan bilangan asli adalah himpunan tak terbatas, yaitu, diberikan bilangan apa pun tidak alami, selalu ada n+1, juga alami. Nomor n+1 disebut penerus n. Untuk menentukan penerus bilangan asli apa pun, cukup Menambahkan 1 ke nomor itu. Sebagai contoh, mari kita tentukan penerus dari angka 3, 1, 5 dan 2p + 1.

Penerus angka 3 diberikan oleh 3+1, yaitu angka 4. Demikian pula, penerus 1 dan 5 berturut-turut adalah 2 dan 6. Mengikuti definisi penerus, misalkan penerus 2p + 1 adalah 2p + 1 + 1, yaitu 2p + 2.

Dengan definisi penerus, gagasan bahwa himpunan bilangan asli tidak terbatas menjadi lebih jelas, karena selalu mungkin untuk menemukan penerus bilangan asli.

Nenek moyang dari bilangan asli

Pendahulu dari bilangan asli tidak adalah yang mendahului nomor ini tidak. Kita dapat menulis pendahulu dari tidak Suka n - 1. Sebagai contoh, mari kita tentukan pendahulu dari angka 2, 5, 1000 dan 2p + 1.

Pendahulu dari 2 diberikan oleh 2 - 1, jadi itu adalah nomor 1. Demikian pula, pendahulu dari 5 dan 1000, masing-masing, adalah angka 4 dan 999. Pendahulu dari angka 2p + 1 adalah 2p + 1 – 1, yaitu, pendahulu dari 2p +1 adalah angka 2p.

Penting untuk mengatakan bahwa tidak setiap bilangan asli memiliki pendahulu, adalah kasus nomor 1. Menerapkan definisi leluhur, kita mendapatkan bahwa pendahulu dari angka 1 adalah 1 - 1 = 0, tetapi nomor nol bukan milik bilangan asli. Oleh karena itu, setiap bilangan asli memiliki pendahulunya, kecuali bilangan 1. Oleh karena itu, bilangan 1 disebut unsur minimum dari bilangan asli, yaitu bilangan asli terkecil. Kita dapat menulis informasi ini seperti ini:

Subset dari bilangan asli

Kita tahu bahwa himpunan bilangan asli terdiri dari bilangan positif, yaitu bilangan yang lebih besar dari nol. Dari teori set, kita memiliki itu, mengingat himpunan A dan B, kita katakan bahwa B adalah himpunan bagian dari A jika setiap anggota B adalah anggota dari A, yaitu, B terkandung dalam A (B A).

Jadi, setiap himpunan yang dibentuk oleh bilangan asli akan menjadi himpunan bagian dari bilangan asli. Lihat beberapa contoh:

Pertimbangkan set:

A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, …}

B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …}

C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23}

D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Himpunan A, B, dan C adalah himpunan bagian dari bilangan asli, karena semua elemen dari himpunan ini juga merupakan elemen dari yang alami, yaitu, kita dapat mengatakan bahwa:

Sekarang lihat himpunan D. Perhatikan bahwa, dalam himpunan ini, tidak setiap elemen termasuk dalam himpunan bilangan asli. Ini adalah kasus dengan angka 0. Oleh karena itu, D itu bukan himpunan bagian bilangan asli, yaitu D tidak terdapat dalam himpunan bilangan asli. Kami menunjukkan fakta ini sebagai berikut:

Baca juga: Bilangan prima: apa itu dan bagaimana menemukannya?

bilangan asli genap

Kami mengatakan bahwa suatu bilangan genap jika itu adalah kelipatan dari bilangan 2, yang setara dengan mengatakan bahwa bilangan ini habis dibagi 2. Lihat:

{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,…}

Karena himpunan bilangan asli adalah himpunan tak hingga, begitu pula himpunan bilangan genap. Perhatikan juga bahwa setiap elemen dari himpunan bilangan genap juga merupakan elemen dari bilangan asli dan oleh karena itu himpunan bilangan genap adalah himpunan bagian dari bilangan asli..

Lihat itu:

2 = 2 · 1

4 = 2 · 2

6 = 2 · 3

8 = 2 · 4

10 = 2 ·5

12 = 2 · 6

Himpunan bilangan genap dapat diperoleh dengan mengalikan semua bilangan asli dengan bilangan 2. Jadi mengingat bilangan asli tidak, kita dapat menulis bilangan genap menggunakan ekspresi 2n, sehingga himpunan bilangan genap dapat ditulis secara umum dengan:

Sebagai contoh, mari kita cari tahu apakah angka 1000, 2098 dan 55 adalah genap.

Karena 1000 = 2 · 500 dan 2098 = 2 · 1049, keduanya genap karena ada bilangan asli yang, dikalikan dengan 2, menghasilkannya. Sekarang, 55 tidak genap, karena tidak ada bilangan asli yang, dikalikan dengan 2, menghasilkan 55. Lihat:

54 = 2 · 27

56 = 2 · 28

Seperti yang kita ketahui, tidak ada bilangan asli antara 27 dan 28, jadi 55 bukan genap.

Bilangan asli ganjil

Suatu bilangan dikatakan ganjil jika bukan genap, yaitu bilangan tersebut bukan kelipatan atau habis dibagi 2. Jadi, himpunan bilangan asli ganjil adalah bilangan asli yang bukan kelipatan 2. Himpunan ini dapat ditulis sebagai berikut:

{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,…}

Analog dengan apa yang kami lakukan di himpunan bilangan genap, kami memiliki:

3 = 2 · 1 + 1
5 = 2 · 2 + 1
7 = 2 · 3 + 1
9 = 2 · 4 + 1
11 = 2 · 5 + 1
13 = 2 · 6 + 1

Himpunan bilangan ganjil dapat diperoleh dengan mengalikan semua bilangan asli dengan 2 dan menambahkan 1. mempertimbangkan bilangan asli tidak apapun, kita dapat menulis angka ganjil menggunakan ekspresi 2n + 1. Secara umum, kami mewakili himpunan bilangan ganjil dengan:

Perhatikan bahwa himpunan bilangan ganjil juga merupakan himpunan tak hingga, karena untuk mendapatkan bilangan ganjil kita mengalikan bilangan asli dengan 2 dan kemudian menambahkan 1. Untuk alasan ini, himpunan bilangan ganjil juga merupakan himpunan bagian dari bilangan asli., karena setiap elemen himpunan ini juga merupakan elemen alam.

Lihat juga: Sifat bilangan genap dan ganjil

Latihan terpecahkan

pertanyaan 1 – Daftarkan hanya bilangan asli dari bilangan-bilangan di bawah ini:

0, 1, 2, 0,43; -1, - 0,5 dan 98,765

Larutan

Kita tahu bahwa himpunan bilangan asli terdiri dari bilangan positif yang tidak memiliki koma, jadi bilangan asli dalam daftar adalah: 1, 2 dan 98.765.

pertanyaan 2 – Dilihat dari bentuk umum bilangan genap, benarkah penjumlahan dua bilangan genap hasilnya tetap genap? Hal yang sama berlaku untuk bilangan ganjil?

Larutan

Kita tahu bahwa bilangan genap dapat ditulis secara umum dengan mengalikan bilangan asli dengan 2. Pertimbangkan dua bilangan asli yang berbeda, 2n dan 2m, di mana saya dan tidak setiap bilangan asli, jumlah keduanya ditentukan oleh:

2n + 2m

Menempatkan nomor 2 sebagai bukti, kami memiliki:

2 ·(n+m)

Suka tidak dan saya adalah dua bilangan asli, jumlah mereka juga, jadi n + m = k, di mana k bilangan asli.

2 ·(n+m)

2 · k

Oleh karena itu, jumlah dua bilangan asli genap juga merupakan bilangan genap, karena jumlah tersebut menghasilkan kelipatan 2.

Sekarang kita tahu bahwa bilangan ganjil diperoleh dengan mengalikan bilangan asli dengan 2 yang ditambahkan ke bilangan 1. Sekarang perhatikan dua bilangan ganjil yang berbeda, 2n +1 dan 2m + 1, dengan saya dan tidak alam. Menambahkan angka-angka ini bersama-sama, kami memiliki:

2n+1 + 2m +1

2n + 2m +2

Sekali lagi menempatkan nomor 2 sebagai bukti, kami memiliki:

2 (n+m+1)

Perhatikan bahwa n + m + 1 adalah bilangan asli dan kita dapat menyatakannya dengan p, yaitu, n + m + 1 = p, segera:

2 ·(n+m+1)

2 · P

Perhatikan bahwa hasil penjumlahan dua bilangan ganjil menghasilkan kelipatan 2, yaitu genap. Jadi, jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap.

Pertanyaan 3 - (Tender / Pref. dari Itaboraí) Hasil bagi antara dua bilangan asli adalah 10. Dengan mengalikan dividen dengan 5 dan mengurangi pembagi menjadi setengahnya, hasil bagi dari divisi baru akan menjadi:

a) 2

b) 5

c) 25

d) 50

e) 100

Larutan

Menurut pernyataan tersebut, hasil bagi (pembagian) antara dua bilangan asli adalah 10. Karena kita masih belum tahu apa angka-angka ini, mari kita beri nama dengan saya dan tidak, kemudian: