Ke operasi dengan himpunan mereka adalah kesatuan, persimpangan dan perbedaan. Hasil dari setiap operasi ini adalah himpunan baru. Untuk menunjukkan kesatuan antar himpunan, kita menggunakan simbol ∪; untuk persimpangan, simbol ∩; dan untuk perbedaannya, simbol pengurangan\(-\). Jika terjadi perbedaan, penting untuk memperhatikan urutan pelaksanaan operasi. Dengan kata lain, jika A dan B adalah himpunan, maka selisih antara A dan B berbeda dengan selisih antara B dan A.
Baca juga: Diagram Venn - representasi geometris dari himpunan dan operasi di antara keduanya
Ringkasan operasi dengan himpunan
Operasi himpunan adalah: gabungan, perpotongan, dan selisih.
Gabungan (atau pertemuan) himpunan A dan B adalah himpunan A ∪ B yang dibentuk oleh unsur-unsur yang termasuk dalam A atau termasuk dalam B.
\(A∪B=\{x; x∈A\ atau\ x∈B\}\)
Perpotongan himpunan A dan B adalah himpunan A ∩ B yang dibentuk oleh unsur-unsur milik A dan anggota B.
\(A∩B=\{x; x∈A\ dan\ x∈B\}\)
Selisih himpunan A dan B adalah himpunan A – B yang dibentuk oleh unsur-unsur yang termasuk dalam A dan bukan termasuk dalam B.
\(A -B =\{x; x∈A\ e\ x ∉B\}\)
Jika U (disebut himpunan alam semesta) adalah himpunan yang memuat semua himpunan dalam suatu konteks tertentu, maka selisih U – A, dengan A ⊂ U, disebut komplemen dari A. Komplemen A dibentuk oleh unsur-unsur yang bukan milik A dan diwakili oleh Aw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Pelajaran video tentang operasi dengan set
Apa tiga operasi dengan himpunan?
Tiga operasi dengan set yaitu: kesatuan, perpotongan dan perbedaan.
Persatuan himpunan
Gabungan (atau pertemuan) himpunan A dan B adalah himpunan A ∪ B (baca “Gabungan B”). Himpunan ini terdiri dari semua elemen yang termasuk dalam himpunan A atau termasuk dalam himpunan B, yaitu elemen yang termasuk dalam setidaknya salah satu himpunan.
Mewakili elemen A ∪ B dengan x, kita tulis
\(A∪B=\{x; x∈A\ atau\ x∈B\}\)
Pada gambar di bawah, wilayah oranye adalah mengatur A ∪B.
Tampaknya sulit? Mari kita lihat dua contoh!
Contoh 1:
Berapakah himpunan A ∪ B jika A = {7, 8} dan B = {12, 15}?
Himpunan A ∪ B dibentuk oleh unsur-unsur yang termasuk dalam A atau milik B. Karena unsur 7 dan 8 termasuk dalam himpunan A, maka keduanya pasti termasuk dalam himpunan A ∪ B. Selanjutnya, karena unsur 12 dan 15 termasuk dalam himpunan B, maka keduanya harus termasuk dalam himpunan A ∪ B.
Karena itu,
A ∪ B={7, 8, 12, 15}
Perhatikan bahwa setiap elemen A∪B termasuk dalam himpunan A atau himpunan B.
Contoh 2:
Perhatikan himpunan A = {2, 5, 9} dan B = {1, 9}. Berapakah himpunan A ∪ B?
Karena unsur 2, 5, dan 9 termasuk dalam himpunan A, maka semuanya pasti termasuk dalam himpunan A∪B. Selanjutnya, karena unsur 1 dan 9 termasuk dalam himpunan B, maka semuanya pasti termasuk dalam himpunan A ∪ B.
Perhatikan bahwa kami menyebutkan 9 dua kali, karena elemen ini termasuk dalam himpunan A dan himpunan B. Dikatakan bahwa “himpunan A ∪ B dibentuk oleh unsur-unsur yang termasuk dalam A atau milik B” tidak mengecualikan elemen-elemen yang secara bersamaan termasuk dalam himpunan A dan B.
Jadi, dalam contoh ini, kita punya
A ∪ B={1, 2, 5, 9}
Perhatikan bahwa kami menulis elemen 9 hanya sekali.
Persimpangan himpunan
Perpotongan himpunan A dan B adalah himpunan A ∩ B (baca “Perpotongan B”). Himpunan ini terdiri dari semua elemen yang termasuk dalam himpunan A Dia milik himpunan B. Dengan kata lain, A ∩ B terdiri dari unsur-unsur persekutuan himpunan A dan B.
Menunjukkan elemen A ∩ B dengan x, kita tulis
\(A∩B=\{x; x∈A\ dan\ x∈B\}\)
Pada gambar di bawah, wilayah oranye adalah mengatur A ∩B.
Mari selesaikan dua contoh perpotongan himpunan!
Contoh 1:
Misalkan A = {-1, 6, 13} dan B = {0, 1, 6, 13}. Berapakah himpunan A ∩ B?
Himpunan A ∩ B dibentuk oleh semua anggota himpunan A Dia milik himpunan B. Perhatikan bahwa elemen 6 dan 13 secara bersamaan termasuk dalam himpunan A dan B.
Seperti ini,
A ∩ B={6, 13}
Contoh 2:
Berapakah titik potong antara himpunan A = {0,4} dan \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Perhatikan bahwa tidak ada unsur yang sama antara himpunan A dan B. Jadi, perpotongannya adalah himpunan tanpa elemen, yaitu himpunan kosong.
Karena itu,
\(\)SEBUAH ∩ B={ } = ∅
Perbedaan antar set
Selisih himpunan A dan B adalah himpunan A – B (baca “selisih A dan B”). Set ini terdiri dari semua anggota yang termasuk dalam himpunan A dan bukan anggota himpunan B.
Menggambarkan elemen A – B oleh x, kita menulis
\(A-B=\{x; x∈A\ dan\ x∉B\}\)
Pada gambar di bawah, wilayah oranye adalah himpunanA – B.
Perhatian: selisih himpunan A dan B bukanlah selisih himpunan B dan A, karena B – A dibentuk oleh semua anggota yang termasuk dalam himpunan B dan bukan anggota himpunan A.
Perhatikan dua contoh di bawah ini tentang perbedaan antar himpunan.
Contoh 1:
Jika A = {-7, 2, 100} dan B = {2, 50}, tentukan himpunan A – B? Bagaimana dengan himpunan B – A?
SetA-B terdiri dari semua elemen yang termasuk dalam himpunan A DiaTIDAK milik himpunan B. Perhatikan bahwa 2 adalah satu-satunya elemen di himpunan A yang juga termasuk dalam himpunan B. Jadi, 2 tidak termasuk dalam himpunan A – B.
Karena itu,
SEBUAH – B = {-7, 100}
Selanjutnya himpunan B – A dibentuk oleh semua anggota yang termasuk dalam himpunan B DiaTIDAK milik himpunan A. Karena itu,
B – SEBUAH = {50}
Contoh 2:
Berapakah selisih antara himpunan A = {–4, 0} dan himpunan B = {–3}?
Perhatikan bahwa tidak ada satu pun elemen A yang menjadi milik B. Jadi selisih A – B adalah himpunan A itu sendiri.
\(A - B = \{-4.0\} = A\)
Pengamatan: Anggaplah U (disebut himpunan alam semesta) adalah himpunan yang memuat semua himpunan lain dalam situasi tertentu. Seperti ini, perbedaan kamu – A, dengan A⊂U, adalah himpunan yang disebut komplementer A dan digambarkan sebagai \(BC\).
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Pada gambar berikut, persegi panjang adalah himpunan alam semesta dan daerah oranye adalah himpunan alam semesta \(BC\).
Tahu lebih banyak: Langkah demi langkah cara melakukan pembagian
Latihan yang diselesaikan pada operasi yang ditetapkan
pertanyaan 1
Perhatikan himpunan A = {–12, –5, 3} dan B = {–10, 0, 3, 7} dan klasifikasikan setiap pernyataan di bawah ini sebagai T (benar) atau F (salah).
SAYA. A ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. SEBUAH ∩ B = {3}
AKU AKU AKU. SEBUAH – B = {–12, –5}
Urutan yang benar dari atas ke bawah adalah
A) V-V-V
B) FVV
C) VFV
D) F-F-V
E) F-F-F
Resolusi
SAYA. PALSU.
Elemen 0 harus menjadi anggota gabungan A dan B, karena 0 ∈ B. Jadi, A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. BENAR.
AKU AKU AKU. BENAR.
Alternatif B.
Pertanyaan 2
Misalkan A = {4, 5}, B = {6,7} dan C = {7,8}. Maka himpunan A ∪ B ∩ C adalah
SEBUAH) {7}.
B) {8}.
B) {7, 8}.
D) {6,7,8}.
E) {4, 5, 6, 7, 8}.
Resolusi
Perhatikan bahwa A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Jadi, himpunan A ∪ B ∩ C adalah perpotongan antara A ∪ B = {4, 5, 6, 7} dan C = {7,8}. Segera,
A ∪ B ∩ C = {7}
Alternatif A.
Sumber
LIMA, Elon L.. Kursus Analisis. edisi ke-7. Rio de Janeiro: IMPA, 1992. v.1.
LIMA, Elon L. dkk. Matematika Sekolah Menengah. 11. ed. Koleksi Guru Matematika. Rio de Janeiro: MBS, 2016. v.1.
