A rooting Ini adalah operasi matematika, seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan potensiasi. Sama seperti pengurangan yang merupakan kebalikan dari operasi penjumlahan dan pembagian adalah kebalikan dari perkalian, maka radiasi adalah kebalikan dari operasi potensiasi. Jadi, untuk x dan y positif nyata dan bilangan bulat n (lebih besar dari atau sama dengan 2), jika x dipangkatkan ke n sama dengan y, kita dapat mengatakan bahwa akar ke-n dari y sama dengan x. Dalam notasi matematika: \(x^n=y\Panah Kanan\sqrt[n]{y}=x\).
Baca juga:Potensiasi dan radisiasi pecahan — bagaimana cara melakukannya?
Ringkasan tentang rooting
Rootifikasi adalah operasi matematika.
Radiasi dan potensiasi adalah operasi kebalikan, yaitu untuk x dan y positif, \(x^n=y\Panah Kanan\sqrt[n]{y}=x\).
Menghitung akar ke-n suatu bilangan y berarti mencari bilangan x sedemikian rupa sehingga x yang dipangkatkan ke n sama dengan y.
Membaca root tergantung pada indeks n. Jika n = 2 disebut akar kuadrat, dan jika n = 3 disebut akar pangkat tiga.
Dalam operasi dengan radikal, kami menggunakan istilah dengan indeks yang sama.
Radiasi memiliki sifat penting yang memudahkan perhitungannya.
Pelajaran video tentang rooting
Representasi dari sebuah akar
Untuk mewakili rooting, kita harus mempertimbangkan tiga elemen yang terlibat: radicand, indeks dan root. Simbol \(√\) disebut radikal.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
Dalam contoh ini, y adalah radicand, n adalah indeks dan x adalah root. Bunyinya “akar ke-n dari y adalah x”. Jika x dan y mewakili bilangan real positif, n mewakili bilangan bulat yang sama dengan atau lebih besar dari 2. Penting untuk dicatat bahwa untuk n = 2, indeks dapat dihilangkan. Jadi, misalnya, \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
Kita dapat merepresentasikan radiasi menggunakan radikan dengan eksponen pecahan. Secara formal, kita mengatakan bahwa akar ke-n dari \(y^m\) dapat ditulis sebagai y yang dipangkatkan ke eksponen pecahan \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
Lihat contohnya:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
Perbedaan antara radiasi dan potensiasi
Potensiasi dan radiasi adalah operasi matematika terbalik. Artinya jika \(x^n=y\), Kemudian \(\sqrt[n]{y}=x\). Tampaknya sulit? Mari kita lihat beberapa contoh.
Jika \(3^2=9\), Kemudian \(\sqrt[2]{9}=3\).
Jika \(2^3=8\), Kemudian \(\sqrt[3]{8}=2\).
Jika \(5^4=625\), Kemudian \(\sqrt[4]{625}=5\).
Bagaimana cara membaca root?
Untuk membaca akar, kita harus mempertimbangkan indeks N. Jika n = 2, kami menyebutnya akar kuadrat. Jika n = 3, kita menyebutnya akar pangkat tiga. Untuk nilai N lebih besar, kita menggunakan tata nama bilangan urut: akar keempat (jika n = 4), akar kelima (jika n = 5) dan seterusnya. Lihat beberapa contoh:
\(\sqrt[2]{9}\) – akar kuadrat dari 9.
\(\sqrt[3]{8}\) – akar pangkat tiga dari 8.
\(\sqrt[4]{625}\) – akar keempat dari 625.
Bagaimana cara menghitung akar suatu bilangan?
Di bawah ini kita akan melihat cara menghitung akar bilangan real positif. Untuk menghitung akar suatu bilangan, kita harus mempertimbangkan operasi invers terkait. Artinya, jika kita mencari akar ke-n dari suatu bilangan y, kita harus mencari bilangan x sedemikian rupa \(x^n=y\).
Bergantung pada nilai y (yaitu radicand), proses ini bisa sederhana atau melelahkan. Mari kita lihat beberapa contoh cara menghitung akar suatu bilangan.
Contoh 1:
Berapakah akar kuadrat dari 144?
Resolusi:
Sebut saja nomor yang kita cari x, yaitu, \(\sqrt{144}=x\). Perhatikan bahwa ini berarti mencari bilangan x sedemikian rupa \(x^2=144\). Mari kita uji beberapa kemungkinan dengan bilangan asli:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
Karena itu, \(\sqrt{144}=12\).
Contoh 2:
Berapakah akar pangkat tiga dari 100?
Resolusi:
Sebut saja nomor yang kita cari x, yaitu, \(\sqrt[3]{100}=x\). Artinya \(x^3=100\). Mari kita uji beberapa kemungkinan:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
Perhatikan bahwa kita mencari bilangan antara 4 dan 5, sebagai \(4^3=64\) Dia \(5^3=125\). Jadi, mari kita uji beberapa kemungkinan dengan angka antara 4 dan 5:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
Sebagai \(4,6^3 \) adalah bilangan yang mendekati dan kurang dari 100, kita dapat mengatakan bahwa 4,6 adalah perkiraan akar pangkat tiga dari 100. Karena itu, \(\sqrt[3]{100}≈4.6\).
Penting:Jika akarnya adalah bilangan rasional, kita katakan bahwa akarnya eksak; jika tidak, akarnya tidak tepat. Pada contoh di atas, kita menentukan rentang antara akar eksak tempat akar yang dicari ditemukan:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
Strategi ini sangat berguna untuk menghitung perkiraan suatu akar.
Operasi dengan radikal
Dalam operasi dengan radikal, kami menggunakan istilah dengan indeks yang sama. Mengingat hal tersebut, simak baik-baik informasi berikut ini.
→ Penjumlahan dan pengurangan antar radikal
Untuk menyelesaikan penjumlahan atau pengurangan antar radikal, kita harus menghitung akar masing-masing radikal secara terpisah.
Contoh:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
Penting: Operasi penjumlahan dan pengurangan tidak dapat dilakukan secara radikal. Perhatikan, misalnya, operasi \(\sqrt4+\sqrt9\) menghasilkan jumlah yang berbeda \(\sqrt{13}\), bahkan jika \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3.6\)
→ Perkalian dan pembagian antar radikal
Untuk menyelesaikan perkalian atau pembagian antar radikal, kita dapat menghitung akar masing-masing radikal secara terpisah, namun kita juga dapat menggunakan sifat radiasi, yang akan kita lihat di bawah.
Contoh:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}^\sqrt[3]{64}=8±4=2\)
Apa saja sifat-sifat radiasi?
→ Sifat 1 radiasi
Jika y adalah bilangan positif, maka akar ke-n dari \(y^n\) sama dengan y.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
Lihat contohnya:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
Properti ini banyak digunakan untuk menyederhanakan ekspresi dengan radikal.
→ Properti 2 radiasi
Akar ke-n dari produk \(y⋅z\) sama dengan hasil kali akar ke-n dari y dan z.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
Lihat contohnya:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
Penting: Saat kita menghitung akar suatu bilangan besar, ini sangat berguna memfaktorkan (menguraikan) radikan menjadi bilangan prima dan terapkan properti 1 dan 2. Lihat contoh berikut, yang ingin kita hitung \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Seperti ini,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ Properti 3rooting
Akar ke-n dari hasil bagi \(\frac{y}z\), dengan \(z≠0\), sama dengan hasil bagi akar ke-n dari y dan z.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
Lihat contohnya:
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ Properti 4 radiasi
Akar ke-n dari y yang dipangkatkan m sama dengan akar ke-n dari \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
Lihat contohnya:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
Lihat juga: Apa saja sifat-sifat potensiasi?
Latihan terpecahkan tentang radiasi
pertanyaan 1
(FGV) Menyederhanakan \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), Anda mendapatkan:
SEBUAH) 0
B) - 23
C) - 43
D) - 63
D) - 83
Resolusi:
Alternatif C.
Perhatikan bahwa dengan menggunakan sifat radiasi yang kita miliki
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
Dengan demikian, kita dapat menulis ulang ekspresi pernyataan tersebut sebagai
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
Menempatkan istilah itu \(\sqrt3\) bukti, kami menyimpulkan bahwa
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
Pertanyaan 2
(Cefet) Dengan bilangan manakah kita harus mengalikan bilangan 0,75 agar akar kuadrat hasil perkaliannya sama dengan 45?
SEBUAH) 2700
B) 2800
C) 2900
D) 3000
Resolusi:
Alternatif A.
Bilangan yang dicari adalah x. Jadi, menurut pernyataan itu,
\(\sqrt{0,75⋅x}=45\)
Karena itu,
\(0,75⋅x=45^2\)
\(0,75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0,75}\)
\(x = 2700\)
