Kami tahu caranya polinomial ekspresi yang menunjukkan jumlah aljabar monomial yang tidak serupa, yaitu polinomial adalah satu ekspresi aljabar antara monomial. Monomium adalah istilah aljabar yang memiliki koefisien dan bagian literal.
Jika ada suku-suku yang serupa di antara polinomial-polinomial tersebut, dimungkinkan untuk melakukan pengurangan persyaratannya dalam penjumlahan dan atau pengurangan dua polinomial. Dimungkinkan juga untuk mengalikan dua polinomial melalui sifat distributif. Pembagian dilakukan dengan menggunakan metode kunci.
Baca juga: Persamaan Polinomial - Persamaan yang ditandai dengan memiliki polinomial sama dengan 0
Apa itu monomial?
Untuk memahami apa itu polinomial, penting untuk terlebih dahulu memahami arti dari monomium. Ekspresi aljabar dikenal sebagai monomium ketika memiliki angka dan huruf dan eksponennya dipisahkan hanya dengan perkalian. Angka tersebut dikenal sebagai koefisien, dan huruf serta eksponennya dikenal sebagai bagian literal.
Contoh:
2x² → 2 adalah koefisien; x² adalah bagian literal.
5ax → 5 adalah koefisien; kapak adalah bagian literalnya.
b³yz² → 1 adalah koefisien; b³yz² adalah bagian literalnya.
Apa itu polinomial?
Polinomial tidak lain adalah jumlah aljabar monomial, yaitu, mereka lebih monomial dipisahkan oleh penambahan atau pengurangan satu sama lain.
Contoh:
kapak² + dengan + 3
5c³d – 4ab + 3c²
-2ab + b – 3xa
Secara umum, polinomial dapat memiliki beberapa istilah, itu diwakili secara aljabar oleh:
Itutidakxtidak +(n-1) x(n-1) + … +2x² + a1x + a
Lihat juga: Apa saja kelas polinomial?
derajat polinomial
Untuk mencari derajat polinomial, mari kita pisahkan menjadi dua kasus, ketika memiliki satu variabel dan ketika memiliki lebih banyak variabel. Derajat polinomial diberikan oleh derajat terbesar dari monomialnya dalam kedua kasus.
Sangat umum untuk bekerja dengan polinomial yang hanya memiliki satu variabel. Ketika itu terjadi, HAI monomium yang lebih besar gelar yang menunjukkan derajat dari polinomial sama dengan eksponen terbesar dari variabel:
Contoh:
Polinomial Variabel Tunggal
a) 2x² – 3x³ + 5x – 4 → perhatikan bahwa variabelnya adalah x, dan pangkat terbesarnya adalah 3, jadi ini adalah polinomial derajat 3.
b) 2 tahun5 + 4y² – 2y + 8 → variabelnya adalah y, dan pangkat terbesarnya adalah 5, jadi ini adalah polinomial berderajat 5.
Ketika polinomial memiliki lebih dari satu variabel dalam monomial, untuk menemukan derajat istilah ini, perlu Menambahkan-jika derajat eksponen masing-masing variabel. Dengan demikian, derajat polinomial, dalam hal ini, masih sama dengan derajat monomial terbesar, tetapi perlu berhati-hati untuk menjumlahkan eksponen variabel dari masing-masing monomial.
Contoh:
a) 2xy + 4x²y³ – 5y4
Menganalisis bagian literal dari setiap istilah, kita harus:
xy → kelas 2 (1 + 1)
x²y³ → derajat 5 (2 + 3)
y³ → kelas 3
Perhatikan bahwa suku terbesar memiliki derajat 5, jadi ini adalah polinomial derajat 5.
b) 8a²b - ab + 2a²b²
Menganalisis bagian literal dari setiap monomium:
a²b → kelas 3 (2 + 1)
ab² → derajat 2 (1 + 1)
a²b² → kelas 4 (2 + 2)
Jadi, polinomial memiliki derajat 4.
Menambahkan Polinomial
ke penjumlahan antara dua polinomial, mari kita laksanakan pengurangan monomial serupa. Dua monomial adalah serupa jika mereka memiliki bagian literal yang sama. Ketika ini terjadi, polinomial dapat disederhanakan.
Contoh:
Misalkan P(x) = 2x² + 4x + 3 dan Q(x) = 4x² – 2x + 4. Tentukan nilai P(x) + Q(x).
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
Menemukan istilah serupa (yang memiliki bagian literal yang sama):
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4
Sekarang mari kita tambahkan monomial serupa:
(2+4)x² + (4-2)x + 3 + 4
6x² + 2x +7
Pengurangan Polinomial
Pengurangan tidak jauh berbeda dengan penjumlahan. Detail yang penting adalah itu pertama kita perlu menulis polinomial yang berlawanan sebelum kita melakukan penyederhanaan istilah serupa.
Contoh:
Data: P(x) = 2x² + 4x + 3 dan Q(x) = 4x² - 2x + 4. Hitung P(x) – Q(x).
Polinomial -Q(x) adalah kebalikan dari Q(x), untuk mencari lawan dari Q(x), cukup balikkan tanda setiap sukunya, jadi kita harus:
-Q(x) = -4x² +2x – 4
Kemudian kita akan menghitung:
P(x) + (-Q(x))
2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4
Menyederhanakan istilah serupa, kami memiliki:
(2 - 4)x² + (4 + 2)x + (3 - 4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x – 1
Perkalian Polinomial
Untuk melakukan perkalian dua polinomial, kami menggunakan yang diketahui sifat distributif antara dua polinomial, mengoperasikan perkalian monomial dari polinomial pertama dengan polinomial kedua.
Contoh:
Misalkan P(x) = 2a² + b dan Q(x) = a³ + 3ab + 4b². Hitung P(x) · Q(x).
P(x) · T(x)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
Menerapkan properti distributif, kita akan memiliki:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
ke-25 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² +4b³
Sekarang, jika ada, kita dapat menyederhanakan istilah serupa:
ke-25 + 6a³b + 8a²b² + ab + 3ab² + 4b³
Perhatikan bahwa satu-satunya monomial serupa disorot dalam warna oranye, menyederhanakan di antara mereka, kita akan memiliki polinomial berikut sebagai jawaban:
ke-25 + (6+1)ab + 8a²b² + 3ab² + 4b³
ke-25 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
Juga akses: Bagaimana cara mengerjakan perkalian pecahan aljabar?
pembagian polinomial
melakukan pembagian polinomial bisa sangat melelahkan, kami menggunakan apa yang disebut metode kunci, tetapi ada beberapa metode untuk melakukannya. Pembagian dua polinomial itu hanya mungkin jika derajat pembaginya lebih kecil. Dengan membagi polinomial P(x) dengan polinomial D(x), kita mencari polinomial Q(x), sehingga:
Jadi, dengan algoritma pembagian, kita mendapatkan: P(x) = D(x) · Q(x) + R(x).
P(x) → dividen
D(x) → pembagi
Q(x) → hasil bagi
R(x) → sisa
Saat mengoperasikan pembagian, polinomial P(x) habis dibagi oleh polinomial D(x) jika sisanya adalah nol.
Contoh:
Mari kita operasikan dengan membagi polinomial P(x) = 15x² +11x + 2 dengan polinomial D(x) = 3x + 1.
Kami ingin berbagi:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
langkah pertama: kami membagi monomium pertama dari dividen dengan yang pertama dari pembagi:
15x²: 3x = 5x
langkah ke-2: kita kalikan 5x · (3x+1) = 15x² + 5x, dan kurangi hasil dari P(x). Untuk melakukan pengurangan, perlu untuk membalikkan tanda-tanda hasil perkalian, menemukan polinomial:
langkah ke-3: kita melakukan pembagian suku pertama hasil pengurangan dengan suku pertama pembagi:
6x: 3x = 2
langkah ke-4: jadi kita punya (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
Oleh karena itu, kita harus:
Q(x) = 5x + 2
R(x) = 0
Baca juga: Perangkat praktis Briot-Ruffini – pembagian polinomial
latihan yang diselesaikan
Pertanyaan 1 - Berapakah nilai m agar polinomial P(x) = (m² – 9)x³ + (m + 3)x² + 5x + m berderajat 2?
A) 3
B) -3
C) ±3
D) 9
E) -9
Resolusi
Alternatif A
Agar P(x) memiliki derajat 2, koefisien x³ harus sama dengan nol, dan koefisien x² harus berbeda dari nol.
Jadi kami akan melakukan:
m² - 9 = 0
m² = 9
m = ± 9
m = ±3
Di sisi lain, kita memiliki bahwa m + 3 0.
Jadi, m -3.
Jadi, sebagai solusi persamaan pertama, kita memiliki m = 3 atau m = -3, tetapi untuk persamaan kedua, kita memiliki m -3, jadi satu-satunya solusi yang membuat P(x) berderajat 2 adalah: m = 3.
Pertanyaan 2 - (IFMA 2017) Keliling gambar dapat ditulis dengan polinomial:
A) 8x + 5
B) 8x + 3
C) 12 + 5
D) 12x + 10
E) 12x + 8
Resolusi
Alternatif D
Dari gambar, ketika kita menganalisis panjang dan lebar yang diberikan, kita tahu bahwa keliling adalah jumlah dari semua sisi. Karena panjang dan tinggi sama, kita hanya mengalikan jumlah polinomial yang diberikan dengan 2.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10
Oleh Raul Rodrigues de Oliveira
Guru matematika
