Kamu bilangan kompleks timbul dari kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan yang mempunyai akar bilangan negatif, yang, sampai saat itu, tidak mungkin diselesaikan dengan bekerja dengan bilangan real. Bilangan kompleks dapat direpresentasikan dalam tiga cara: a bentuk aljabar (z = a + bi), terdiri dari bagian nyata Itu dan bagian imajiner B; Itu Bentuk geometris, direpresentasikan dalam bidang kompleks yang juga dikenal sebagai bidang Argand-Gauss; dan punya anda bentuk trigonometri, juga dikenal sebagai bentuk kutub. Berdasarkan representasinya, saat kita bekerja dengan himpunan numerik, bilangan kompleks memiliki operasi yang terdefinisi dengan baik: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan potensiasi.
Melalui representasi geometris di bidang kompleks, kami juga mendefinisikan modul (diwakili oleh |z|) dari bilangan kompleks — yang merupakan jarak dari titik yang mewakili bilangan kompleks ke titik asal — dan apa argumen dari a bilangan kompleks — yang merupakan sudut yang terbentuk antara sumbu horizontal dan lintasan yang menghubungkan titik asal ke titik yang mewakili bilangan tersebut kompleks.
kebutuhan bilangan kompleks
Dalam matematika, perluasan himpunan numerik ke himpunan baru, sepanjang sejarah, adalah sesuatu yang sangat umum. Kebetulan, dalam perjalanannya, matematika telah berkembang, dan kemudian, ke memenuhi kebutuhan waktu, diketahui bahwa ada angka-angka yang tidak termasuk dalam himpunan numerik yang dirujuknya. Begitulah dengan munculnya set numerik bilangan bulat, rasional, irasional dan real, dan itu tidak berbeda ketika ada kebutuhan untuk memperluas himpunan bilangan real ke bilangan kompleks.
Ketika kita mencoba untuk memecahkan persamaan kuadrat, cukup umum kita menemukan akar kuadrat dari bilangan negatif, yang tidak mungkin diselesaikan dalam himpunan bilangan real, maka perlu bilangan kompleks. Awal studi angka-angka ini mendapat kontribusi dari matematikawan penting, seperti Giralmo Cardono, tetapi himpunan mereka diformalkan oleh Gauss dan Argand.
Baca juga: Representasi geometris dari jumlah bilangan kompleks
bentuk aljabar bilangan kompleks
Saat mencoba menyelesaikan persamaan kuadrat seperti x² = -25, sering dikatakan tidak dapat diselesaikan. Namun, dalam upaya untuk aljabar, representasi aljabar, yang memungkinkan untuk melakukan operasi dengan angka-angka ini, meskipun Anda tidak dapat menghitung akar kuadrat dari bilangan negatif.
Untuk memfasilitasi penyelesaian situasi di mana Anda bekerja dengan akar pangkat dua bilangan negatif, satuan imajiner.
Jadi, menganalisis persamaan yang disajikan x² = -25, kita mendapatkan bahwa:
Jadi, solusi untuk persamaan tersebut adalah -5saya e5saya.
Untuk menentukan bentuk aljabar, surat saya, dikenal sebagai satuan imajiner dari bilangan kompleks. Bilangan kompleks diwakili oleh:
z = Itu + Bsaya
Tentang apa Itu dan B adalah bilangan real.
Itu: bagian nyata, ditunjukkan dengan a = Re (z);
B: bagian imajiner, ditunjukkan dengan Im (z);
saya: satuan imajiner.
Contoh
Itu) 2 + 3saya
B) -1 + 4saya
) 5 – 0,2saya
d) -1 – 3saya
ketika bagian sebenarnya adalah nol, bilangan tersebut disebut imajiner murni, misalnya, -5saya dan 5saya mereka adalah imajiner murni karena mereka tidak memiliki bagian nyata.
Ketika bagian imajiner adalah nol, bilangan kompleks juga merupakan bilangan real.
Operasi dengan bilangan kompleks
Seperti himpunan numerik lainnya, operasinya harus didefinisikan dengan baik, oleh karena itu, dimungkinkan untuk melakukan empat operasi dasar bilangan kompleks dengan mempertimbangkan bentuk aljabar yang disajikan.
Menjumlahkan dua bilangan kompleks
Untuk melaksanakan tambahan dari dua bilangan kompleks z1 ez2, kami akan menambahkan bagian nyata dari z1 ez2 dan jumlah bagian imajiner, masing-masing.
Menjadi:
z1 = a + bsaya
z2 = c + dsaya
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)saya
Contoh 1
Realisasi jumlah z1 dan z2.
z1 = 2 + 3saya
z2 = 1 + 2saya
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)saya
z1 +z2= 3 + 5saya
Contoh 2
Realisasi jumlah z1 dan z2.
z1 = 5 – 2saya
z2 = – 3 + 2saya
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)saya
z1+z2 = (5 – 3) + 0saya
z1 +z2= 3 + 0saya = 3
Lihat juga: Representasi geometris dari jumlah bilangan kompleks
Pengurangan dua bilangan kompleks
Sebelum kita berbicara tentang pengurangan, kita perlu mendefinisikan apa itu kebalikan dari bilangan kompleks, yaitu, z = a + bsaya. Invers dari z, diwakili oleh –z, adalah bilangan kompleks –z = –a –bsaya.
Untuk melakukan pengurangan antara z1dan -z2, selain itu, kami akan melakukan do pengurangan antara bagian nyata dan antara bagian imajiner secara terpisah, tetapi perlu dipahami bahwa -z2 itu adalah kebalikan dari bilangan kompleks, yang membuatnya perlu untuk memainkan permainan tanda.
Contoh 1
Melakukan pengurangan z1 dan z2.
z1 = 2 + 3saya
z2 = 1 + 2saya
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)saya
z1–z2= 1 + 1saya = 1+ saya
Contoh 2
Melakukan pengurangan z1 dan z2.
z1= 5 – 2saya
z2 = – 3 + 2saya
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)saya
z1–z2= (5 + 3) + (–4)saya
z1 –z2= 8 + (–4)saya
z1 –z2= 8 –4saya
Kekuatan Satuan Imajiner
Sebelum kita berbicara tentang perkalian, kita perlu memahami kekuatan satuan imajiner. Dalam mencari metode untuk menghitung kekuatan sayatidak, perlu disadari bahwa kekuatan-kekuatan ini berperilaku dalam cara siklik. Untuk ini, mari kita hitung beberapa potensi di saya.
Ternyata kekuatan selanjutnya tidak lebih dari pengulangannya, perhatikan bahwa:
saya 4 = saya 2 · saya 2 = (–1) (–1) = 1
saya 5 = saya 2 · saya 3 = (–1) (–saya) = saya
Saat kita terus menghitung pangkat, jawabannya akan selalu menjadi elemen dari himpunan {1,i,-1,–saya}, kemudian untuk menemukan kekuatan unit sayatidak, kita akan membagi n (eksponen) dengan 4, dan beristirahatdivisi ini (r = { 0, 1, 2, 3}) akan menjadi eksponen baru dari saya.
Contoh1
Perhitungan i25
Ketika kita membagi 25 dengan 4, hasil bagi akan menjadi 6 dan sisanya akan sama dengan 1. Jadi kita harus:
saya 25 = saya1 = saya
Contoh 2
Perhitungan saya 403
Saat kita membagi 403 dengan 4, hasilnya adalah 100, karena 100 · 4 = 400, dan sisanya adalah 3, jadi kita harus:
saya 403 =saya 3 = -saya
Perkalian bilangan kompleks
Untuk melakukan perkalian dua bilangan kompleks, mari kita terapkan sifat distributif. Menjadi:
z1= a + bsaya
z2= c + dsaya, maka produknya:
z1 · z2 = (a + bsaya) (c + dsaya), menerapkan sifat distributif,
z1 · z2 = ac + iklansaya + cbsaya + bdsaya 2, tetapi seperti yang telah kita lihat, saya ² = -1
z1 · z2 = ac + iklansaya + cbsaya – bd
z1 · z2= (ac – bd) + (iklan + cb)saya
Dengan menggunakan rumus ini, adalah mungkin untuk menemukan produk dari dua bilangan kompleks, tetapi dalam a Pada umumnya tidak perlu dihias, karena untuk perhitungan yang dimaksud, kita hanya menerapkan properti distributif.
Contoh
Perhitungan produk dari (2+3saya) (1 – 4saya):
(2+3saya) (1 – 4saya) = 2 – 8saya + 3saya– 12saya ², mengingat itu i² = -1:
(2 + 3saya) (1 – 4saya) = 2 – 8saya + 3saya+ 12
(2 + 3saya) (1 – 4saya) = (2 + 12) + (– 8 + 3)saya
(2+3saya) (1 – 4saya) = 14 – 5saya
Juga akses: Penambahan, pengurangan, dan perkalian bilangan kompleks
Konjugasi bilangan kompleks
Sebelum kita berbicara tentang pembagian, kita perlu memahami apa itu konjugasi bilangan kompleks. Konsepnya sederhana, untuk menemukan konjugat dari bilangan kompleks, hanya untuk menukarkanmos tanda bagian imajiner.
pembagian dua bilangan kompleks
Untuk melaksanakan pembagian dua bilangan kompleks, kita perlu mengalikan pecahan dengan konjugat penyebut sehingga bagian real dan bagian imajiner terdefinisi dengan baik.
Contoh
Perhitungan pembagian (6 - 4saya): (4 + 2saya)
Lihat juga: Berlawanan, konjugasi, dan persamaan bilangan kompleks
Bidang kompleks atau bidang Argand-Gauss
Dikenal sebagai rencana kompleks atau Sebuah rencanargand-gauss, dia mengizinkan representasi dalam bentuk geometris dari bilangan kompleks, rencana ini merupakan adaptasi dalam pesawat kartesius untuk mewakili bilangan kompleks. Sumbu horizontal dikenal sebagai sumbu bagian nyata Re(z), dan sumbu vertikal dikenal sebagai sumbu bagian imajiner Im (z). Jadi bilangan kompleks yang diwakili oleh a + bsaya menghasilkan titik-titik dalam bidang kompleks yang dibentuk oleh pasangan terurut (a, b).
Contoh
Representasi dari angka 3 + 2saya dalam bentuk geometris Z(3,2).
Modul dan argumen bilangan kompleks complex
Modulus bilangan kompleks, secara geometris, adalah jarak dari titik (a, b) yang mewakili bilangan ini dalam bidang kompleks ke asalnya, yaitu titik (0,0).
Seperti yang bisa kita lihat, |z| adalah hipotenusa dari segitiga siku-siku, oleh karena itu, dapat dihitung dengan menerapkan teori Pitagoras, jadi kita harus:
Contoh:
Perhitungan modulus z = 1 + 3saya
HAI Ituargumen suatu bilangan kompleks, secara geometris, adalah sudut dibentuk oleh sumbu horizontal dan |z|
Untuk mencari nilai sudut, kita harus:
Tujuannya adalah untuk menemukan sudut = arg z.
Contoh:
Temukan argumen bilangan kompleks: z = 2 + 2saya:
Karena a dan b positif, kita tahu bahwa sudut ini berada di kuadran pertama, jadi mari kita hitung |z|.
Mengetahui |z|, adalah mungkin untuk menghitung sinus dan kosinus.
Karena, dalam hal ini, a dan b sama dengan 2, maka, ketika kita menghitung sinθ, kita akan menemukan solusi yang sama untuk kosinus.
Mengetahui nilai sinθ dan cosθ, dengan melihat tabel sudut-sudut penting dan mengetahuinya termasuk dalam kuadran pertama, jadi dapat ditemukan dalam derajat atau radian, jadi kami menyimpulkan apa:
Bentuk trigonometri atau kutub
Representasi bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri itu hanya mungkin setelah kita memahami konsep modul dan argumen. Berdasarkan representasi ini, konsep-konsep penting dikembangkan untuk mempelajari bilangan kompleks pada tingkat yang lebih tinggi. Untuk melakukan representasi trigonometri, kita akan mengingat bentuk aljabarnya z = a + bi, namun, ketika menganalisis bidang kompleks, kita harus:
Dengan mensubstitusi, dalam bentuk aljabar, nilai a = |z| cos dan b = |z| sen, kita harus:
z = a + bsaya
Dengan z = |z| karena + |z| senθ saya, menempatkan |z| sebagai bukti, kita sampai pada rumus bentuk trigonometri:
z= |z|(cos + saya · dosa ) |
Contoh: Tulis, dalam bentuk trigonometri, bilangan
Untuk menulis dalam bentuk trigonometri, kita membutuhkan argumen dan modulus z.
langkah pertama – Perhitungan |z|
Mengetahui |z|, adalah mungkin untuk menemukan nilai dengan melihat tabel sudut-sudut penting.
Sekarang dimungkinkan untuk menulis angka z dalam bentuk trigonometri dengan sudut dalam derajat atau dengan sudut yang diukur dalam radian.
Baca juga: Radiasi bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri
Latihan terpecahkan
Pertanyaan 1 - (UFRGS) Mengingat bilangan kompleks z1 = (2,-1) dan z2 = (3, x), diketahui hasil kali antara z1 dan z2 adalah bilangan real. Jadi x sama dengan:
a) -6
b) -3/2
c) 0
d) 3/2
e) 6
Resolusi
Alternatif D
Agar produk menjadi bilangan real, maka bagian imajiner sama dengan nol.
Dengan menuliskan bilangan-bilangan ini dalam bentuk aljabar, kita harus:
z1 = 2 – 1saya dan z2 = 3 + xsaya
z1 · z2 = (2 – 1saya) (3 + xsaya)
z1 · z2 = 6 + 2xsaya –3saya – xsaya ²
z1 · z2 = 6 + 2xsaya –3saya + x
z1 · z2 = 6+ x + (2x – 3)saya
Karena minat kita adalah bahwa bagian imajiner sama dengan nol, maka kita akan menyelesaikan untuk 2x – 3 = 0
Pertanyaan 2 - (UECE) Jika i adalah bilangan kompleks yang kuadratnya sama dengan -1, maka nilai 5saya 227 + saya 6 – saya 13 itu sama dengan:
Itu) saya + 1
b) 4saya –1
c) -6saya –1
d) -6saya
Resolusi
Alternatif C.
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita perlu mencari sisa dari setiap bilangan yang dibagi 4.
227: 4 menghasilkan hasil bagi 56 dan sisa 3.
saya 227 = saya 3 = –saya
6: 4 menghasilkan hasil bagi 1 dan sisa 2.
saya 6 = saya 2 = –1
13: 4 menghasilkan hasil bagi 3 dan sisa 1.
saya 13 = saya1 = saya
Jadi kita harus:
5saya 227 + saya 6 – saya 13
5 (–saya) + (–1) – saya
–5saya –1 – saya
–6saya – 1
Oleh Raul Rodrigues de Oliveira
Guru matematika
Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm