Di antara cara untuk menemukan nilai numerik x, proses juga dikenal sebagai cari akar persamaan atau mencari solusi persamaan, menonjol: rumus Bhaskara ini adalah proses menyelesaikan kuadrat. Yang terakhir adalah fokus dari teks hari ini.
Banyaknya solusi persamaan ditentukan oleh derajatnya. Oleh karena itu, persamaan derajat pertama hanya memiliki satu solusi, persamaan derajat ketiga memiliki tiga solusi, dan persamaan kuadrat memiliki dua solusi, juga disebut akar..
Persamaan derajat kedua, dalam bentuk tereduksinya, dapat ditulis sebagai berikut:
kapak2 + bx + c = 0
metode penyelesaian kuadrat
Dalam hal ini persamaan kuadrat adalah trinomial kuadrat sempurna
Persamaan derajat kedua yang dihasilkan dari produk yang luar biasa dikenal sebagai trinomial kuadrat sempurna. Untuk menemukan akarnya, kita akan menggunakan metode yang dicontohkan di bawah ini:
Contoh: Hitung akar persamaan x2 + 6x + 9 = 0.
Perhatikan bahwa koefisien b adalah 6 = 2·3. Untuk menuliskannya dalam bentuk produk yang luar biasa, cukup periksa apakah c = 3
2, yang benar, karena 32 = 9 = c. Dengan cara ini, kita dapat menulis:x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 = 0
Perhatikan bahwa produk penting adalah produk antara dua polinomial yang sama. Dalam kasus persamaan ini, kita akan memiliki:
(x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = 0
Sebuah produk hanya sama dengan nol ketika salah satu faktornya sama dengan nol. Oleh karena itu, untuk (x + 3)(x + 3) = 0, harus (x + 3) = 0 atau (x + 3) = 0. Oleh karena itu dua hasil yang sama untuk persamaan x2 + 6x + 9 = 0, yaitu: x = – 3 atau x = – 3.
Pendeknya: untuk menyelesaikan persamaan x2 + 6x + 9 = 0, tulis:
x2 + 6x + 9 = 0
(x + 3)2 = 0
(x + 3)(x + 3) = 0
x = – 3 atau x = – 3
Dalam hal ini persamaan kuadrat bukan trinomial kuadrat sempurna
Persamaan detik di mana koefisien b dan koefisien c tidak memenuhi hubungan yang ditetapkan di atas bukanlah trinomial kuadrat sempurna. Dalam hal ini, metode penyelesaian yang disorot di atas dapat digunakan dengan penambahan beberapa langkah. Perhatikan contoh berikut:
Contoh: Hitung akar persamaan x2 + 6x – 7 = 0.
Perhatikan bahwa persamaan ini bukan trinomial kuadrat sempurna. Untuk itu, kita dapat menggunakan operasi berikut:
Perhatikan bahwa b = 2·3, jadi pada anggota pertama ekspresi yang akan muncul adalah x2 + 6x + 9, karena dalam persamaan ini b = 2·3 dan c = 32.
Untuk "transformasi" ini, tambahkan 32 pada dua anggota persamaan ini, "berikan" - 7 ke anggota kedua, lakukan operasi yang mungkin dan amati hasilnya:
x2 + 6x - 7 + 32 = 0 + 32
x2 + 6x + 32 = 32 + 7
x2 + 6x + 9 = 9 + 7
x2 + 6x + 9 = 16
(x + 3)2 = 16
(x + 3)2 = √16
x + 3 = 4 atau x + 3 = – 4
Langkah terakhir ini harus dibagi menjadi dua persamaan, karena akar dari 16 dapat berupa 4 atau – 4 (ini hanya terjadi pada persamaan. Jika ditanya apa akar dari 16, jawabannya hanya 4). Jadi, perlu untuk menemukan semua hasil yang mungkin. Melanjutkan:
x + 3 = 4 atau x + 3 = – 4
x = 4 – 3 atau x = – 4 – 3
x = 1 atau x = – 7
Dalam hal ini koefisien "a" tidak sama dengan 1
Kasus-kasus sebelumnya ditujukan untuk persamaan kuadrat di mana koefisien "a" sama dengan 1. Jika koefisien "a" berbeda dari 1, cukup bagi seluruh persamaan dengan nilai "a" dan lanjutkan dengan perhitungan dengan cara yang sama seperti pada kasus sebelumnya.
Contoh: Hitung 2x akar2 + 16x – 18 = 0
Perhatikan bahwa a = 2. Jadi bagi seluruh persamaan dengan 2 dan sederhanakan hasilnya:
2x2 + 16x – 18 = 0
2 2 2 2
x2 + 8x – 9 = 0
Setelah ini selesai, ulangi prosedur kasus sebelumnya.
x2 + 8x – 9 = 0
x2 + 8x – 9 + 16 = 0 + 16
x2 + 8x + 16 = 9 + 16
(x + 4)2 = 25
(x + 4)2 = √25
x + 4 = 5 atau x + 4 = –5
x = 5 – 4 atau x = – 5 – 4
x = 1 atau x = – 9
Produk Terkemuka dan Persamaan Derajat Kedua: Asal Metode Penyelesaian Kuadrat
Persamaan kuadrat sangat mirip dengan produk yang luar biasa jumlah kuadrat dan kuadrat selisihnya.
Jumlah kuadrat, misalnya, adalah jumlah dari dua monomial kuadrat. Menonton:
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2
Anggota pertama dari persamaan di atas disebut produk yang luar biasa dan yang kedua bagaimana trinomial kuadrat sempurna. Yang terakhir ini sangat mirip dengan persamaan derajat kedua. Menonton:
Trinomial kuadrat sempurna: x2 + 2kx + k2
Persamaan derajat kedua: kapak2 + bx + c = 0
Dengan begitu, jika ada cara untuk menulis persamaan kuadrat sebagai produk yang luar biasa, mungkin ada juga cara untuk mengetahui hasilnya tanpa perlu menggunakan rumus Bhaskara.
Untuk melakukan ini, perhatikan bahwa, dalam produk penting di atas, a = 1, b = 2·k dan c = k2. Dengan cara ini, dimungkinkan untuk menulis persamaan yang memenuhi persyaratan ini dalam bentuk produk yang luar biasa.
Jadi lihat koefisien dalam persamaan. Jika "a" berbeda dari 1, bagi seluruh persamaan dengan nilai "a". Jika tidak, amati koefisien “b”. Nilai numerik dari setengah dari koefisien ini harus sama dengan nilai numerik dari akar kuadrat dari koefisien "c". Secara matematis, diberikan persamaan ax2 + bx + c = 0, jika a = 1 dan sebagai tambahan:
B = c
2
Jadi, Anda dapat menulis persamaan ini seperti ini:
kapak2 + bx + c = (x + B) = 0
2
Dan akarnya akan menjadi - B dan + b.
2 2
Oleh karena itu semua teori yang digunakan untuk menghitung akar persamaan kuadrat dengan metode menyelesaikan kuadrat.
Oleh Luiz Paulo Moreira
Lulus matematika
Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm
