Tangen: apa itu, bagaimana menghitungnya, contoh

A garis singgung (disingkat tg atau tan) adalah a fungsi trigonometri. Untuk menentukan garis singgung suatu sudut, kita dapat menggunakan strategi yang berbeda: hitung rasio antara sinus dan cosinus sudut, jika diketahui; gunakan tabel garis singgung atau kalkulator; menghitung rasio antara kaki yang berlawanan dan yang berdekatan, jika sudut yang dimaksud adalah internal (akut) dari segitiga siku-siku, antara lain.

Baca juga: Untuk apa lingkaran trigonometri digunakan?

Topik artikel ini

  • 1 - Ringkasan tentang garis singgung
  • 2 - Tangen sudut
  • 3 - Garis singgung dari sudut penting
  • 4 - Bagaimana cara menghitung garis singgung?
    • → Grafik fungsi tangen
  • 5 - Hukum garis singgung
  • 6 - Rasio trigonometri
  • 7 - Memecahkan latihan pada garis singgung

ringkasan tentang tangen

  • Tangen adalah fungsi trigonometri.

  • Garis singgung sudut dalam segitiga siku-siku adalah rasio sisi yang berlawanan dengan sisi yang berdekatan.

  • Garis singgung sudut mana pun adalah rasio sinus dan cosinus sudut itu.

  • Fungsi \(f (x)=tg\ x\) didefinisikan untuk sudut X dinyatakan dalam radian, sehingga cos \(cos\ x≠0\).

  • Grafik fungsi tangen menunjukkan asimtot vertikal untuk nilai-nilai, di mana \(x= \frac{π}2+kπ\), dengan k utuh, seperti \(x=-\frac{π}2\).

  • Hukum garis singgung adalah ekspresi yang menghubungkan, dalam segitiga apa pun, garis singgung dari dua sudut dan sisi yang berlawanan dengan sudut tersebut.

Tangen suatu sudut

Jika α adalah satu sudut internal dari a segitiga siku-siku, garis singgung α adalah rasio antara panjang kaki yang berlawanan dan panjang kaki yang berdekatan:

Ilustrasi segitiga siku-siku di samping rumus tangen untuk menghitung tangen suatu sudut.

Untuk sembarang sudut α, tangennya adalah rasio antara sin α dan kosinus α, di mana \(cos\ α≠0\):

\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)

Perlu diperhatikan bahwa jika α adalah sudut di kuadran 1 atau 3, garis singgungnya akan bertanda positif; tetapi jika α adalah sudut kuadran ke-2 atau ke-4, garis singgungnya akan bertanda negatif. Hubungan ini dihasilkan langsung dari aturan tanda antara tanda sinus dan cosinus untuk setiap α.

Penting: Perhatikan bahwa garis singgung tidak ada untuk nilai α dimana \(cos\ α=0\). Ini terjadi untuk sudut 90°, 270°, 450°, 630° dan seterusnya. Untuk mewakili sudut ini secara umum, kami menggunakan notasi radian: \(\frac{ π}2+kπ\), dengan k utuh.

Jangan berhenti sekarang... Masih ada lagi setelah publisitas ;)

Tangen dari sudut penting

Menggunakan ekspresi \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), kita dapat menemukan garis singgung dari sudut yang luar biasa, yang merupakan sudut 30°, 45° dan 60°:

\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1 }{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)

\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)

\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)

Menarik: Selain itu, kita dapat menganalisis nilai tangen untuk sudut 0° dan 90°, yang juga banyak digunakan. Karena sin 0° = 0, kami menyimpulkan bahwa tan 0° = 0. Untuk sudut 90°, karena cos90° = 0, garis singgungnya tidak ada.

Bagaimana cara menghitung tangen?

Untuk menghitung garis singgung, kami menggunakan rumus tg α=sin αcos α, yang digunakan untuk menghitung garis singgung sudut mana pun. Mari kita lihat beberapa contoh di bawah ini.

  • Contoh 1

Tentukan garis singgung sudut α pada segitiga siku-siku di bawah ini.

Ilustrasi segitiga siku-siku untuk menghitung tangen.

Resolusi:

Mengenai sudut α, sisi ukuran 6 adalah sisi yang berlawanan dan sisi ukuran 8 adalah sisi yang berdekatan. Seperti ini:

\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)

  • Contoh 2

Mengetahui bahwa \(sin\ 35°≈0,573\) dan cos\(35°≈0,819\), temukan nilai perkiraan untuk garis singgung 35°.

Resolusi:

Karena tangen suatu sudut adalah perbandingan antara sinus dan kosinus sudut tersebut, kita memperoleh:

\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0,573}{0,819}\)

\(tg\ 35°≈0,700\)

fungsi tangen

Fungsi fx=tg x didefinisikan untuk sudut X dinyatakan dalam radian, sehingga \(cos\ x≠0\). Ini berarti bahwa domain dari fungsi tangen dinyatakan dengan:

\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)

Selanjutnya, semua bilangan asli adalah gambar fungsi tangen.

→ Grafik fungsi tangen

 Grafik fungsi tangen.

Perhatikan bahwa grafik fungsi tangen memiliki asimtot vertikal untuk nilai di mana \(x= \frac{π}2+kπ\), dengan k utuh, seperti \( x=-\frac{π}2\). Untuk nilai-nilai ini X, garis singgung tidak ditentukan (artinya, garis singgung tidak ada).

Lihat juga: Apa itu domain, jangkauan, dan gambar?

hukum garis singgung

Hukum garis singgung adalah a ungkapan yang mengasosiasikan, dalam a segi tiga apapun, garis singgung dari dua sudut dan sisi-sisi yang berhadapan dengan sudut tersebut. Sebagai contoh, perhatikan sudut α dan β dari segitiga ABC di bawah ini. Perhatikan bahwa sisi CB = a berlawanan dengan sudut α dan sisi AC = b berlawanan dengan sudut β.

Ilustrasi segitiga apa pun untuk menunjukkan apa yang ditentukan oleh hukum garis singgung.

Hukum garis singgung menyatakan bahwa:

\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\ )

rasio trigonometri

Ke rasio trigonometri adalah fungsi trigonometri yang bekerja pada segitiga siku-siku. Kami menafsirkan rasio ini sebagai hubungan antara sisi dan sudut segitiga jenis ini.

Representasi rumus rasio trigonometri, fungsi trigonometri bekerja di segitiga siku-siku.

Soal latihan pada garis singgung

pertanyaan 1

Biarkan θ menjadi sudut kuadran kedua sehingga sin\(sin\ θ≈0.978\), jadi tgθ kira-kira:

A) -4.688

B) 4.688

C) 0,2086

D) -0,2086

E) 1

Resolusi

Alternatif A

jika \(sin\ θ≈0.978\), kemudian, menggunakan identitas dasar trigonometri:

\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)

\(0,978^2+cos^2 θ=1\)

\(cos^2 θ=1-0,956484\)

\(cos\ θ=±\sqrt{0,043516}\)

Karena θ adalah sudut kuadran kedua, maka cosθ negatif, oleh karena itu:

\(cos\ θ≈- 0,2086\)

Segera:

\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0,978}{-0,2086}=-4,688\)

pertanyaan 2

Perhatikan segitiga siku-siku ABC dengan panjang kaki AB = 3 cm dan AC = 4 cm. Garis singgung sudut B adalah:

A) \(\frac{3}4\)

B) \(\frac{3}5\)

W) \(\frac{4}3\)

D) \(\frac{4}5\)

DAN) \(\frac{5}3\)

Resolusi:

Alternatif C

Dengan pernyataan itu, kaki berlawanan dengan sudut \(\hat{B}\) adalah AC berukuran 4 cm dan kaki yang berdekatan dengan sudut \(\hat{B}\) adalah AB dengan ukuran 3 cm. Seperti ini:

\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)

Oleh Maria Luiza Alves Rizzo
Guru matematika

Pelajari cara membangun lingkaran trigonometri, selain memahami cara kerja reduksi ke kuadran pertama dan cara mempelajari trigonometri melaluinya.

Mengetahui fungsi trigonometri sinus, kosinus, dan tangen. Pahami grafik dari masing-masing fungsi trigonometri. Lihat ciri-ciri fungsi tersebut.

radian, sudut, derajat, keliling, busur, busur keliling, transformasi derajat ke radian, definisi radian, ukuran sudut, ukuran busur, panjang keliling dalam radian, panjang lingkar.

Lihat cara menghitung nilai sinus, kosinus, dan tangen suatu sudut dan pelajari rasio mana yang akan digunakan dalam situasi soal.

Pelajari apa yang dipelajari trigonometri. Mengetahui apa saja identitas dan fungsi utama trigonometri, serta mengetahui cara mengaplikasikan trigonometri.

Ketahui kekhasan segitiga siku-siku dan pelajari cara menghitung luas dan kelilingnya. Lihat juga bagaimana trigonometri dapat diterapkan padanya.

Klik dan pelajari sudut penting untuk Trigonometri dan cari tahu cara menemukan nilai sinus, kosinus, dan tangennya.

Pangeran Cilik: analisis karya, ringkasan

Pangeran Cilik: analisis karya, ringkasan

Pangeran kecil adalah buku sastra anak-anak Eropa yang terkenal. Ini menceritakan peristiwa yang ...

read more

Retatrutida: apa itu, kegunaannya, efeknya

A retatruda merupakan obat suntik baru, masih dalam tahap penelitian, yang dapat digunakan untuk ...

read more
Uni Afrika: apa itu, peserta, tujuan

Uni Afrika: apa itu, peserta, tujuan

A Uni Afrika adalah organisasi internasional yang dibentuk oleh seluruh 54 negara dan wilayah di ...

read more