faktorisasi dari polinomial terdiri dari metode yang dikembangkan untuk menulis ulang polinomial sebagai produk antara polinomial. Tulis polinomial sebagai perkalian antara dua atau lebih faktor membantu dalam menyederhanakan ekspresi aljabar dan memahami polinomial.
Ada berbagai kasus pemfaktoran, dan untuk masing-masingnya ada teknik khusus.. Kasus-kasus yang ada adalah: pemfaktoran dengan faktor persekutuan dalam pembuktian, pemfaktoran dengan pengelompokan, selisih dua kuadrat, trinomial kuadrat sempurna, jumlah dua kubus dan selisih dua kubus.
Baca lebih lajut:Apa itu polinomial?
Ringkasan tentang polinomial anjak piutang
Faktorisasi polinomial adalah teknik yang digunakan untuk mewakili polinomial sebagai produk antara polinomial.
Kami menggunakan faktorisasi ini untuk menyederhanakan ekspresi aljabar.
-
Kasus pemfaktoran adalah:
Memfaktorkan dengan faktor persekutuan dalam bukti;
Memfaktorkan dengan mengelompokkan;
trinomial kuadrat sempurna;
selisih dua persegi;
jumlah dua kubus;
Selisih dua kubus.
Kasus Pemfaktoran Polinomial
Untuk memfaktorkan polinomial, perlu untuk menganalisis di mana dari kasus-kasus pemfaktoran situasi yang cocok, adalah: pemfaktoran dengan faktor persekutuan dalam pembuktian, pemfaktoran dengan pengelompokan, selisih dua kuadrat, trinomial kuadrat sempurna, jumlah dua kubus dan selisih dua kubus. Mari kita lihat bagaimana melakukan faktorisasi di masing-masingnya.
Faktor umum dalam bukti
Kami menggunakan metode pemfaktoran ini ketika ada faktor yang sama untuk semua suku polinomial. Faktor umum ini akan disorot sebagai salah satu faktor, dan faktor lainnya, hasil dari divisi dari istilah dengan faktor persekutuan itu, akan ditempatkan di dalam tanda kurung.
Contoh 1:
20xy + 12x² + 8xy²
Menganalisis setiap suku dari polinomial ini, adalah mungkin untuk melihat bahwa x diulang dalam semua suku. Juga, semua koefisien (20, 12, dan 8) adalah kelipatan 4, jadi faktor persekutuan semua suku adalah 4x.
Membagi setiap suku dengan faktor persekutuan, kita mendapatkan:
20xy: 4x = 5y
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Sekarang, kami akan menulis faktorisasi yang menempatkan faktor persekutuan dalam bukti dan jumlah dari hasil yang ditemukan dalam tanda kurung:
4x (5 tahun + 3x + 2 tahun²)
Contoh 2:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
Menganalisis bagian literal dari setiap istilah, adalah mungkin untuk melihat bahwa a²b diulang di semuanya. Perhatikan bahwa tidak ada bilangan yang membagi 2, 3 dan – 4 sekaligus. Jadi faktor persekutuannya adalah a²b.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
4th5b³: a²b = 4a³
Jadi, faktorisasi polinomial ini menjadi:
a²b (2b + 3a + 4a³)
Lihat juga: Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian polinomial — pahami cara melakukannya
pengelompokan
Metode ini adalah digunakan ketika tidak ada faktor persekutuan untuk semua suku polinomial. Dalam hal ini, kami mengidentifikasi istilah yang dapat dikelompokkan memiliki faktor umum dan menyorotinya.
Contoh:
Faktorkan polinomial berikut:
kapak + 4b + bx + 4a
Kami akan mengelompokkan suku-suku yang memiliki a dan b sebagai faktor persekutuan:
kapak + 4a + bx + 4b
Menempatkan a dan b dalam bukti dalam bentuk dua per dua, kami memiliki:
a(x+4)+b(x+4)
Perhatikan bahwa di dalam tanda kurung faktor-faktornya sama, jadi kita dapat menulis ulang polinomial ini sebagai:
(a + b) (x + 4)
trinomial kuadrat sempurna
Trinomial adalah polinomial dengan 3 suku. Suatu polinomial disebut trinomial kuadrat sempurna jika jumlah kuadrat atau selisih kuadrat hasil, itu adalah:
a² + 2ab + b² = (a + b) ²
a² – 2ab + b² = (a – b) ²
Penting: Tidak setiap kali ada tiga suku, polinomial ini akan menjadi trinomial kuadrat sempurna. Oleh karena itu, sebelum melakukan faktorisasi, harus diverifikasi apakah trinomialnya cocok dalam kasus ini.
Contoh:
Faktorkan, jika mungkin, polinomial
x² + 10x + 25
Setelah menganalisis trinomial ini, kami akan mengekstrak akar pangkat dua suku pertama dan terakhir:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
Penting untuk memverifikasi bahwa suku pusat, yaitu, 10x, sama dengan \(2\cdot\ x\cdot5\). Perhatikan bahwa itu memang sama. Jadi ini adalah trinomial kuadrat sempurna, yang dapat difaktorkan dengan:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
selisih dua persegi
Ketika kita memiliki selisih dua kuadrat, kita dapat memfaktorkan polinomial ini dengan menulis ulang sebagai produk dari jumlah dan perbedaannya.
Contoh:
Faktorkan polinomialnya:
4x² – 36y²
Pertama, kita akan menghitung akar kuadrat dari setiap sukunya:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36th^2}=6th\)
Sekarang, kita akan menulis ulang polinomial ini sebagai produk dari jumlah dan perbedaan akar yang ditemukan:
4x² – 36y² = (2x + 6y) (2x – 6y)
Baca juga: Perhitungan aljabar yang melibatkan monomial — pelajari bagaimana keempat operasi itu terjadi
jumlah dua kubus
Jumlah dua buah kubus yaitu a³ + b³, dapat difaktorkan sebagai:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
Contoh:
Faktorkan polinomialnya:
x³ + 8
Kita tahu bahwa 8 = 2³, jadi:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
Selisih dua kubus
Selisih dua buah kubus yaitu a³ – b³, tidak berbeda dengan jumlah dua kubus, dapat difaktorkan sebagai:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
Contoh:
Faktorkan polinomialnya
8x³ - 27
Kita tahu bahwa:
8x³ = (2x)
27 = 3³
Jadi kita harus:
\(8x^3-27=\kiri (2x-3\kanan)\)
\(8x^3-27=\kiri (2x-3\kanan)\kiri (4x^2+6x+9\kanan)\)
Soal latihan soal memfaktorkan polinomial
pertanyaan 1
Menggunakan Faktorisasi Polinomial untuk Menyederhanakan Ekspresi Aljabar \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), kita akan menemukan:
a) x + 2
B) x - 2
C) \(\frac{x-2}{x+2}\)
D) \(\frac{x+2}{x-2}\)
E) (x - 2) (x + 2)
Resolusi:
Alternatif D
Melihat pembilangnya, kita melihat bahwa x² + 4x + 4 adalah kasus trinomial kuadrat sempurna dan dapat ditulis ulang sebagai:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Pembilang x² – 4 adalah selisih dua persegi dan dapat ditulis ulang sebagai:
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
Karena itu:
\(\frac{\kiri (x+2\kanan)^2}{\kiri (x+2\kanan)\kiri (x-2\kanan)}\)
Perhatikan bahwa suku x + 2 muncul di pembilang dan penyebut, jadi penyederhanaannya diberikan oleh:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
pertanyaan 2
(Unifil Institute) Mengingat dua bilangan, x dan y, sedemikian rupa sehingga x + y = 9 dan x² – y² = 27, nilai x sama dengan:
a) 4
B) 5
C) 6
D) 7
Resolusi:
Alternatif C
Perhatikan bahwa x² – y² adalah selisih antara dua kuadrat dan dapat difaktorkan sebagai hasil kali jumlah dan selisihnya:
x² – y² = (x + y) (x – y)
Kita tahu bahwa x + y = 9:
(x + y) (x - y) = 27
9 (x - y) = 27
x - y = 27: 9
x - y = 3
Kemudian kita dapat mengatur sistem persamaan:
Menambahkan dua baris:
2x + 0 y = 12
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6
Oleh Raul Rodrigues de Oliveira
Guru matematika
Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-de-polinomio.htm
