NS persamaan polinomial ditandai dengan memiliki polinomial sama dengan nol. Hal ini dapat dicirikan oleh derajat polinomial, dan semakin besar derajat ini, semakin besar tingkat kesulitan dalam menemukan solusi atau akarnya.
Penting juga, dalam konteks ini, untuk memahami apa teorema dasar aljabar, yang menyatakan bahwa setiap persamaan polinomial memiliki setidaknya satu solusi kompleks, dengan kata lain: persamaan derajat satu akan memiliki setidaknya satu solusi, persamaan derajat dua akan memiliki setidaknya dua solusi, dan seterusnya.
Baca juga: Apa saja kelas polinomial?
Apa itu Persamaan Polinomial
Persamaan polinomial ditandai dengan memiliki polinomial sama dengan nol, dengan demikian, setiap ekspresi tipe P(x) = 0 adalah persamaan polinomial, di mana P(x) adalah polinomial. Di bawah ini adalah kasus umum persamaan polinomial dan beberapa contohnya.
Pertimbangkantidak, An -1, A n -2, …, NS1, A0 dan x bilangan asli, dan n adalah bilangan bulat positif, ekspresi berikut adalah persamaan polinomial derajat n.
- Contoh
Persamaan berikut adalah polinomial.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x – 1 = 0
d) 7x3 - x2 + 4x + 3 = 0
Seperti polinomial, persamaan polinomial memiliki derajatnya. Untuk menentukan derajat persamaan polinomial, carilah pangkat tertinggi yang koefisiennya berbeda dengan nol. Oleh karena itu, persamaan item sebelumnya masing-masing adalah:
a) persamaannya dari derajat keempat:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Persamaannya dari sekolah Menengah Atas:5x2 – 3 = 0.
c) Persamaannya dari gelar pertama:6x – 1 = 0.
d) Persamaannya adalah dari derajat ketiga: 7x3- x2 + 4x + 3 = 0.
Bagaimana cara menyelesaikan persamaan polinomial?
Metode penyelesaian persamaan polinomial tergantung pada derajatnya. Semakin besar derajat suatu persamaan, semakin sulit untuk menyelesaikannya. Pada artikel ini, kami akan menunjukkan metode penyelesaian untuk persamaan polinomial dari derajat pertama, derajat kedua dan bisquare.
Persamaan Polinomial Derajat Pertama
Persamaan polinomial derajat pertama dijelaskan oleh a polinomial derajat 1. Jadi kita dapat menulis persamaan derajat pertama, secara umum, sebagai berikut.
Pertimbangkan dua bilangan real NS dan B dengan 0, ekspresi berikut adalah persamaan polinomial derajat pertama:
kapak + b = 0
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita harus menggunakan prinsip kesetaraan, yaitu, segala sesuatu yang dioperasikan di satu sisi kesetaraan juga harus dioperasikan di sisi lain. Untuk menentukan solusi persamaan derajat pertama, kita harus mengisolasi yang tidak diketahui. Untuk ini, langkah pertama adalah menghilangkan B di sisi kiri persamaan, dan kemudian mengurangidayung b di kedua sisi persamaan.
kapak + b - B = 0 - B
kapak = - b
Perhatikan bahwa nilai x yang tidak diketahui tidak terisolasi, koefisien a perlu dihilangkan dari sisi kiri persamaan, dan untuk itu, mari kita bagi kedua sisi dengan NS.
- Contoh
Selesaikan persamaan 5x + 25 = 0.
Untuk menyelesaikan masalah, kita harus menggunakan prinsip ekivalensi. Untuk memudahkan proses, kita akan menghilangkan penulisan operasi di sisi kiri persamaan, menjadi setara maka untuk mengatakan bahwa kita akan "melewati" nomor ke sisi lain, mengubah tanda (operasi terbalik).
Pelajari lebih lanjut tentang memecahkan jenis persamaan ini dengan mengakses teks kami: Persamaan derajat pertama dengan yang tidak diketahui.
Persamaan Polinomial Derajat Kedua
Persamaan polinomial derajat kedua memiliki karakteristik a polinomial derajat dua. Jadi, pertimbangkan bilangan real a, b, dan c dengan a 0. Persamaan derajat kedua diberikan oleh:
kapak2 + bx + c = 0
Solusi Anda dapat ditentukan dengan menggunakan metode bhaskara atau dengan memfaktorkan. Jika Anda ingin tahu lebih banyak tentang persamaan jenis ini, baca: persamaantindakan dari Skedua Grau.
→ Metode Bhaskara
Menggunakan metode Bhaskara, akarnya diberikan oleh rumus berikut:
- Contoh
Tentukan solusi dari persamaan x2 – 3x + 2 = 0.
Perhatikan bahwa koefisien persamaan berturut-turut adalah a = 1, b = – 3 dan c = 2. Mengganti nilai-nilai ini dalam rumus, kita harus:
→ Faktorisasi
Lihat bahwa adalah mungkin untuk memfaktorkan ekspresi x2 – 3x + 2 = 0 menggunakan ide faktorisasi polinomial.
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Perhatikan sekarang bahwa kita memiliki produk yang sama dengan nol, dan produk sama dengan nol hanya jika salah satu faktornya sama dengan nol, jadi kita harus:
x – 2 = 0
x = 2
atau
x - 1 = 0
x = 1
Lihat bahwa kami menemukan solusi persamaan menggunakan dua metode berbeda.
persamaan bi-kuadrat
NS persamaan kuadrat ini adalah sebuah kasus khusus dari persamaan polinomial derajat keempat, biasanya persamaan derajat keempat akan ditulis dalam bentuk:
kapak4 + bx3 + kotak2 + dx + e = 0
dimana angkanya a B C D dan dan nyata dengan 0. Persamaan derajat keempat dianggap bikuadrat ketika koefisien b = d = 0, yaitu persamaan dalam bentuk:
kapak4 + kotak2 + dan = 0
Lihat, dalam contoh di bawah ini, bagaimana menyelesaikan persamaan ini.
- Contoh
Selesaikan persamaan x4 – 10x2 + 9 = 0.
Untuk menyelesaikan persamaan, kita akan menggunakan perubahan yang tidak diketahui berikut ini, dan setiap kali persamaannya bikuadrat, kita akan membuat perubahan itu.
x2 =p
Dari persamaan bi-kuadrat, perhatikan bahwa x4 = (x2)2 dan oleh karena itu kita harus:
x4 – 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
untuk2 – 10p + 9 = 0
Lihat bahwa kita sekarang memiliki persamaan polinomial derajat kedua dan kita dapat menggunakan metode Bhaskara, seperti ini:
Namun, kita harus ingat bahwa, pada awal latihan, ada perubahan yang tidak diketahui, jadi kita harus menerapkan nilai yang ditemukan dalam substitusi.
x2 =p
Untuk p = 9 kita dapatkan bahwa:
x2 = 9
x’ = 3
atau
x’’ = – 3
Untuk p = 1
x2 = 1
x’ = 1
atau
x’’ = – 1
Oleh karena itu, himpunan solusi dari persamaan bikuadrat adalah:
S = {3, –3, 1, -1}
Baca juga: Perangkat praktis Briot-Ruffini – pembagian polinomial
Teorema Dasar Aljabar (TFA)
Teorema dasar aljabar (TFA), dibuktikan oleh Gauss pada tahun 1799, menyatakan bahwa setiap persamaan polinomial berikut memiliki setidaknya satu akar kompleks.
Akar persamaan polinomial adalah solusinya, yaitu, nilai yang tidak diketahui adalah apa yang membuat persamaan menjadi benar. Misalnya, persamaan derajat pertama memiliki akar yang sudah ditentukan, seperti halnya persamaan derajat kedua, yang memiliki setidaknya dua akar, dan bikuadrat, yang memiliki setidaknya empat akar.
latihan yang diselesaikan
pertanyaan 1 – Tentukan nilai x yang membuat persamaan menjadi benar.
2x - 8 = 3x + 7
Resolusi
Perhatikan bahwa untuk menyelesaikan persamaan, perlu untuk mengaturnya, yaitu, meninggalkan semua yang tidak diketahui di sisi kiri persamaan.
2x - 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– x = 15
Dengan prinsip kesetaraan, kita dapat mengalikan kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama, dan karena kita ingin mencari nilai x, kita akan mengalikan kedua ruas dengan -1.
(–1)– x = 15(–1)
x = – 15
pertanyaan 2 – Marcos memiliki R$ 20 lebih banyak dari João. Bersama-sama, mereka berhasil membeli dua pasang sepatu kets, seharga R$80 per pasang dan tanpa sisa uang. Berapa reais yang dimiliki John?
Resolusi
Asumsikan Mark memiliki x reais, karena John memiliki 20 reais lebih banyak, jadi dia memiliki x + 20.
Tanda → x real
João → (x + 20) reais
bagaimana mereka membeli? dua pasang sepatu kets yang harganya masing-masing 80 reais, jadi jika kita menggabungkan bagian-bagiannya, kita harus:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 – 20
2x = 140
Oleh karena itu, Markus memiliki 70 reais, dan João, 90 reais.
oleh Robson Luis
Guru matematika
Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm
