HAI segitiga pascal itu adalah alat matematika yang cukup tua. Sepanjang sejarah, ia telah menerima beberapa nama, tetapi yang paling banyak diadopsi saat ini adalah segitiga aritmatika dan segitiga Pascal. Nama kedua adalah penghargaan untuk ahli matematika yang membuat beberapa kontribusi untuk mempelajari segitiga ini. berarti segitiga itu diciptakan olehnya, tetapi dialah yang mempelajari lebih dalam tentang ini alat.
Dari sifat-sifat segitiga Pascal, dimungkinkan untuk membangunnya secara logis. Juga menonjol Anda hubungan dengan kombinasi dipelajari dalam analisis kombinatorial. Istilah segitiga Pascal juga sesuai dengan koefisien binomial dan, oleh karena itu, sangat berguna untuk menghitung binomial Newton apa pun.
Baca juga: Perangkat Briot-Ruffini - metode untuk membagi polinomial
Konstruksi segitiga Pascal
segitiga pascal dihasilkan dari hasil kombinasi, namun ada metode praktis yang memudahkan cara membangunnya. Baris pertama dan kolom pertama dihitung sebagai baris nol dan kolom nol.
Kita dapat menggunakan garis sebanyak yang diperlukan dalam konstruksi ini, oleh karena itu segitiga dapat memiliki garis yang tak terbatas. Alasan untuk elaborasi garis selalu sama. Lihat:
Kami tahu itu istilah segitiga adalah kombinasi, belajar di analisis kombinatorial. Untuk mengganti segitiga Pascal dengan nilai numerik, kita tahu bahwa kombinasi angka dengan nol dan angka dengan dirinya sendiri selalu sama dengan 1. Oleh karena itu, nilai pertama dan terakhir selalu 1.
Untuk mencari yang lain, kita mulai dari baris 2, karena baris 0 dan baris 1 sudah selesai. Pada baris 2, untuk mencari kombinasi 2 ke 1, pada baris di atas yaitu pada baris 1, mari kita tambahkan istilah di atasnya pada kolom yang sama dan istilah di atasnya pada kolom sebelumnya, seperti yang ditunjukkan pada gambar :
Setelah membangun jalur 2, dimungkinkan untuk membangun jalur 3 dengan melakukan prosedur yang sama.
Melanjutkan prosedur ini, kita akan menemukan semua istilah – dalam hal ini, hingga baris 5 – tetapi dimungkinkan untuk membangun sebanyak mungkin baris yang diperlukan.
Sifat-sifat Segitiga Pascal
ada beberapa sifat-sifat segitiga Pascal, karena keteraturan dalam konstruksinya. Properti ini berguna untuk bekerja dengan kombinasi, konstruksi garis segitiga itu sendiri, dan jumlah garis, kolom, dan diagonal.
properti pertama
Properti pertama adalah properti yang kami gunakan untuk membangun segitiga. Jadi untuk menemukan istilah dalam segitiga Pascal, cukup tambahkan istilah yang ada pada baris di atasnya dan kolom yang sama dengan istilah yang ada pada kolom dan baris sebelumnya. Properti ini dapat direpresentasikan sebagai berikut:
Properti ini dikenal sebagai Hubungan Stifel dan penting untuk memudahkan konstruksi segitiga dan menemukan nilai dari masing-masing garis.
properti ke-2
Jumlah semua suku dalam satu baris dihitung dengan:
Stidak=2tidak, tentang apa tidak adalah nomor baris.
Contoh:
Dengan properti ini, adalah mungkin untuk mengetahui jumlah semua suku pada suatu garis tanpa harus membuat segitiga Pascal. Jumlah baris 10, misalnya, dapat dihitung dengan 210 = 1024. Meskipun tidak semua suku diketahui, sudah dimungkinkan untuk mengetahui nilai penjumlahan seluruh baris.
properti ke-3
Jumlah suku yang diurutkan dari awal kolom tertentu untuk sampai garis tertentu tidak adalah sama dengan istilah di telepon n+1 belakang dan kolom p+1 kemudian, seperti yang ditunjukkan di bawah ini:
properti ke-4
Jumlah diagonal yang dimulai pada kolom 0 dan sampai ke suku pada kolom p dan baris n sama dengan suku pada kolom yang sama (p), tetapi pada baris di bawah (n+1), seperti pada gambar :
properti ke-5
Ada simetri pada garis segitiga Pascal. Suku pertama dan suku kedua sama, suku kedua dan kedua dari belakang sama, dan seterusnya.
Contoh:
Baris 6: 1615 20 156 1.
Perhatikan bahwa suku-sukunya sama dengan dua sampai dua, kecuali suku pusatnya.
Lihat juga: Pembagian polinomial: bagaimana menyelesaikannya?
binomial Newton
Kami mendefinisikan a binomial Newton kekuatan satu polinomial yang memiliki dua istilah. Perhitungan binomial terkait dengan segitiga Pascal, yang menjadi mekanisme untuk menghitung apa yang kita sebut koefisien binomial. Untuk menghitung binomial, kami menggunakan rumus berikut:
Perhatikan bahwa nilai eksponen dari NS berkurang sampai suku terakhir sama dengan NS0. Kita tahu bahwa setiap angka yang dipangkatkan ke 0 sama dengan 1, maka istilahnya NS tidak muncul dalam istilah terakhir. Perhatikan juga bahwa eksponen dari B dimulai dengan B0, segera B tidak muncul di semester pertama dan meningkat hingga mencapai Btidak, dalam istilah terakhir.
Selanjutnya, angka yang menyertai setiap suku disebut koefisien – dalam hal ini dikenal sebagai koefisien binomial. Untuk lebih memahami bagaimana memecahkan jenis binomial ini, akses teks kami: binomial Newton.
koefisien binomial
Koefisien binomial tidak lebih dari kombinasi, yang dapat dihitung menggunakan rumus:
Namun, untuk memudahkan perhitungan binomial Newton, penting untuk menggunakan segitiga Pascal, karena memberikan hasil kombinasi yang lebih cepat.
Contoh:
Untuk mencari hasil koefisien binomial, mari kita cari nilai baris 5 segitiga Pascal, yaitu {1,5,10,10,5,1}.
(x+y)5= 1x5+5x4y+10x3kamu2+ 10x2kamu3 + 5xy4+1 tahun5
Sederhananya:
(x+y)5= x5+5x4y+10x3kamu2+ 10x2kamu3 + 5xy4+ y5
latihan yang diselesaikan
Pertanyaan 1 - Nilai dari ekspresi di bawah ini adalah?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Resolusi
Alternatif A
Mengelompokkan kembali nilai positif dan negatif, kita harus:
Perhatikan bahwa kita sebenarnya menghitung pengurangan antara garis 4 dan garis 3 segitiga Pascal. Berdasarkan properti, kita tahu bahwa:
S4 = 24 = 16
S3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Pertanyaan 2 - Berapakah nilai dari ekspresi di bawah ini?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Resolusi
Alternatif B
Perhatikan bahwa kita menambahkan suku-suku dari kolom 1 segitiga Pascal ke baris 7, lalu ke baris ke-3 properti, nilai jumlah ini sama dengan istilah yang menempati baris 7+1 dan kolom 1+1, yaitu baris 8, kolom 2. Karena kita hanya menginginkan satu nilai, membangun seluruh segitiga Pascal tidaklah mudah.
Oleh Raul Rodrigues de Oliveira
Guru matematika
Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm