Kami mendirikan pendudukan ketika kita menghubungkan satu atau lebih kuantitas. Sebagian dari fenomena alam dapat dipelajari berkat perkembangan di bidang matematika ini. Studi fungsi dibagi menjadi dua bagian, kami memiliki bagian umum, di mana kami mempelajari study konsepumum, dan bagian tertentu, tempat kita mempelajari kasus tertentu, seperti fungsi polinomial dan fungsi eksponensial.
Lihat juga: Bagaimana cara membuat grafik suatu fungsi?
Apa itu fungsi?
Fungsi adalah aplikasi yang menghubungkan unsur-unsur dua set tidak kosong. Pertimbangkan dua himpunan tak kosong A dan B, di mana sebuah fungsi f berhubungan setiap elemen dari A ke hanya satu elemen B
Untuk lebih memahami definisi ini, bayangkan naik taksi. Untuk setiap perjalanan, yaitu untuk setiap jarak yang ditempuh, ada harga yang berbeda dan unik, yaitu, tidak masuk akal jika sebuah perjalanan memiliki dua harga yang berbeda.
Kita dapat merepresentasikan fungsi ini yang mengambil elemen dari himpunan A ke himpunan B dengan cara berikut.
Perhatikan bahwa untuk setiap elemen himpunan A, ada a elemen terkait tunggal dengan dia di set B. Sekarang kita dapat berpikir, bagaimanapun juga, ketika hubungan antara dua himpunan tidak akan menjadi fungsi? Nah, ketika sebuah elemen dari himpunan A terkait dengan dua elemen berbeda dari B, atau ketika ada elemen dari himpunan A yang tidak terkait dengan elemen B. Lihat:
Secara umum, kita dapat menulis fungsi secara aljabar seperti ini:
f: A → B
x → y
Perhatikan bahwa fungsi mengambil elemen dari himpunan A (diwakili oleh x) dan membawanya ke elemen B (diwakili oleh y). Kita juga dapat mengatakan bahwa elemen-elemen himpunan B diberikan dalam bentuk elemen-elemen himpunan A, sehingga kita dapat menyatakan y dengan:
y = f(x)
Bunyinya: (y sama dengan f dari x)
Domain, co-domain, dan citra peran
Ketika kita memiliki peran f, himpunan yang terkait diberi nama khusus. Jadi pertimbangkan sebuah fungsi f yang mengambil elemen dari himpunan A ke elemen dari himpunan B:
f: A → B
Himpunan A, dari mana hubungan berangkat, disebut domain dari fungsi, dan himpunan yang menerima "panah" dari hubungan ini disebut kontra-domain. Kami menunjukkan set ini sebagai berikut:
Df = A → Domain dari f
CDf = B → Counterdomain dari f
Subset dari counterdomain dari suatu fungsi yang dibentuk oleh elemen-elemen yang berhubungan dengan elemen-elemen dari himpunan disebut Gambar fungsi dan dilambangkan dengan:
saya mf → Gambar dari f
- Contoh
Perhatikan fungsi f: A → B yang direpresentasikan dalam diagram di bawah ini dan tentukan domain, domain lawan, dan bayangannya.
Seperti yang dikatakan, himpunan A = {1, 2, 3, 4} adalah domain dari fungsi f,sementara himpunan B = {0, 2, 3, -1} adalah counterdomain dari fungsi yang sama. Sekarang, perhatikan bahwa himpunan yang dibentuk oleh elemen yang menerima panah (berwarna oranye) yang dibentuk oleh elemen {0, 2, -1} adalah subset dari counterdomain B, himpunan ini adalah citra dari fungsi f, jadi:
Df = A = {1, 2, 3, 4}
CDf = B = {0, 2, 3, -1}
saya mf = {0, 2, –1}
Kami mengatakan bahwa 0 adalah gambar elemen 1 domain, serta 2 itu gambar elemen 2 dan 3 domain, dan –1 adalah gambar elemen 4 dari domain. Untuk mempelajari lebih lanjut tentang ketiga konsep ini, baca: Ddomain, co-domain, dan gambar.
Fungsi surjektif
Sebuah fungsi f: A → B akan menjadi surjektif atau surjektif jika, dan hanya jika, himpunan citra bertepatan dengan domain kontra, yaitu, jika semua elemen kontradomain adalah gambar.
Kami mengatakan bahwa suatu fungsi adalah surjektif ketika semua elemen dari counterdomain menerima panah. Jika Anda ingin masuk lebih dalam ke jenis fungsi ini, kunjungi teks kami: Fungsi overjet.
Fungsi injeksi
Sebuah fungsi f: A → B akan menjadi injektif atau injektif jika, dan hanya jika, elemen yang berbeda dari domain memiliki gambar yang berbeda di counterdomain, yaitu, gambar seperti dihasilkan oleh elemen domain yang serupa.
Perhatikan bahwa kondisinya adalah bahwa elemen yang berbeda dari domain berhubungan dengan elemen yang berbeda dari counterdomain, tidak ada masalah dengan elemen yang tersisa di counterdomain. Untuk lebih memahami konsep ini, Anda dapat membaca teks: Fungsi injektor.
Fungsi Bijektor
Sebuah fungsi f: A → B akan bijektif jika, dan hanya jika, adalah injector dan surjector secara bersamaan, yaitu, elemen berbeda dari domain memiliki gambar berbeda, dan gambar bertepatan dengan domain lawan.
- Contoh
Dalam setiap kasus, tentukan apakah fungsi f (x) = x2 itu adalah injektor, surjektor atau bijektor.
Itu) f: ℝ+ → ℝ
Perhatikan bahwa domain fungsi adalah semua real positif dan counterdomain adalah semua bilangan real. Kita tahu bahwa fungsi f diberikan oleh f (x) = x2, sekarang bayangkan semua bilangan real positif adalah tinggi kuadrat, semua gambar juga akan positif. Jadi kita dapat menyimpulkan bahwa fungsinya adalah injecting dan bukan surjective, karena bilangan real negatif tidak akan menerima panah.
Itu menyuntikkan, karena setiap elemen domain (ℝℝ+) hanya berhubungan dengan satu elemen dari counterdomain (ℝ).
B) f: ℝ → ℝ+
Fungsi, dalam hal ini, memiliki domain sebagai semua real dan counterdomain sebagai real positif. Kita tahu bahwa setiap bilangan real kuadrat adalah positif, sehingga semua elemen dari counterdomain telah menerima panah, sehingga fungsinya adalah surjektif. Itu tidak akan disuntikkan karena elemen domain berhubungan dengan dua elemen kontra-domain, misalnya:
f(–2) = (–2)2 = 4
f(2) = (2)2 = 4
) f:ℝ+ → ℝ+
Dalam contoh ini fungsi memiliki domain dan counterdomain sebagai bilangan real positif, sehingga fungsinya adalah bijektor, karena setiap bilangan real positif berhubungan dengan satu bilangan asli positif dari counterdomain, dalam hal ini kuadrat dari angka tersebut. Selain itu, semua nomor counterdomain menerima panah.
fungsi gabungan
ITU fungsi gabungan dikaitkan dengan ide jalan pintas. Perhatikan tiga himpunan tak kosong A, B, dan C. Pertimbangkan juga dua fungsi f dan g, di mana fungsi f mengambil elemen x dari himpunan A ke elemen y = f (x) dari himpunan B, dan fungsi g mengambil elemen y = f (x) ke elemen z dari himpunan C.
Fungsi komposit menerima nama ini karena merupakan aplikasi yang mengambil elemen dari himpunan A langsung ke elemen dari himpunan C, tanpa melalui himpunan B, melalui komposisi fungsi f dan g. Lihat:
Fungsi yang dilambangkan dengan (f o g) mengambil elemen-elemen dari himpunan A secara langsung ke himpunan C. Ini disebut fungsi komposit.
- Contoh
Pertimbangkan fungsi f(x) = x2 dan fungsi g (x) = x + 1. Temukan fungsi komposit (f o g)(x) dan (g o f)(x).
Fungsi f o g diberikan oleh fungsi g yang diterapkan pada f, yaitu:
(f o g)(x) = f (g(x))
Untuk menentukan fungsi komposit ini, kita harus mempertimbangkan fungsi f, dan, sebagai pengganti variabel x, kita harus menulis fungsi g. Lihat:
x2
(x+1)2
(f o g)(x) = f (g(x)) = x2 + 2x + 1
Demikian pula, untuk menentukan fungsi komposit (g o f)(x), kita harus menerapkan fungsi f dalam peran g, yaitu, pertimbangkan fungsi g dan tulis fungsi f sebagai pengganti variabel. Lihat:
(x + 1)
x2 + 1
Oleh karena itu, fungsi komposit (g o f)(x) = g (f (x)) = x2 + 1.
fungsi genap
Pertimbangkan sebuah fungsi f: A →, di mana A adalah himpunan bagian dari real tak kosong. Sebuah fungsi f akan genap hanya untuk semua x nyata.
Contoh
Pertimbangkan fungsinya f: →, diberikan oleh f (x) = x2.
Perhatikan bahwa untuk setiap nilai x nyata, jika dikuadratkan, hasilnya selalu positif, yaitu:
f(x) = x2
dan
f(–x) = (–x)2 = x2
Jadi f(x) = f(–x) untuk sembarang nilai x real, jadi fungsi f itu pasangan.
Baca juga:Properti kekuatans - apa itu dan bagaimana di menggunakanudara?
fungsi unik
Pertimbangkan sebuah fungsi f: A →, di mana A adalah himpunan bagian dari real tak kosong. Sebuah fungsi f akan ganjil hanya untuk semua x nyata.
- Contoh
Pertimbangkan fungsinya f: →, diberikan oleh f (x) = x3.
Lihat bahwa untuk setiap nilai x kita dapat menulis bahwa (–x)3 = -x3. Lihat beberapa contoh:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
Jadi kita dapat mengatakan bahwa:
f(–x) = (–x)3 = –x3
f(–x) = (–x)3 = –f(x)
Jadi untuk sembarang x f(–x) = –f (x), dan fungsi f (x) = x3 unik.
meningkatkan fungsi
Sebuah fungsi f é pertumbuhan pada suatu interval jika dan hanya jika, saat elemen domain tumbuh, gambarnya juga tumbuh. Lihat:
Perhatikan bahwa x1 > x2 dan hal yang sama terjadi pada gambar, sehingga kita dapat menetapkan kondisi aljabar untuk fungsi tersebut f menjadi pertumbuhan.
Fungsi turun
Sebuah fungsi f é menurun pada interval jika dan hanya jika, seiring bertambahnya elemen domain, bayangannya berkurang. Lihat:
Lihat bahwa, dalam domain fungsi, kita memiliki x1 > x2, namun ini tidak terjadi pada gambar fungsi, di mana f (x1) < f(x2). Jadi kita dapat menetapkan kondisi aljabar untuk fungsi menurun. Lihat:
fungsi konstan
Seperti namanya, a fungsinya adalah konstan kapan, untuk nilai berapa pun domain, nilai gambar selalu sama.
fungsi terkait
ITU fungsi affine atau polinomial derajat pertama ditulis dalam bentuk:
f (x) = ax + b
Di mana a dan b adalah bilangan real, a bukan nol, dan grafik Anda adalah garis. Fungsi tersebut memiliki domain real dan juga counterdomain nyata.
fungsi kuadrat
ITU fungsi kuadrat atau fungsi polinomial derajat kedua diberikan oleh Sebuah polinomial dari kelas dua, jadi:
f(x) = sumbu2 + bx + c
Di mana a, b, dan c adalah bilangan real dengan bukan nol, dan grafik Anda adalah a perumpamaan. Role tersebut juga memiliki real domain dan counter domain.
fungsi modular
ITU fungsi modular dengan variabel x menemukan-jika di dalam modul dan secara aljabar dinyatakan dengan:
f(x) = |x|
Fungsi ini juga memiliki domain real dan domain counter, yaitu, kita dapat menghitung nilai absolut dari sembarang bilangan real.
Fungsi eksponensial
ITU Fungsi eksponensialmenampilkan variabel x dalam eksponen. Ini juga memiliki domain nyata dan domain lawan nyata dan dijelaskan secara aljabar oleh:
f(x) = ax
Dimana a adalah bilangan real yang lebih besar dari nol.
fungsi logaritma
ITU fungsi logaritma memiliki variabel dalam logaritma dan domain yang dibentuk oleh bilangan real lebih besar dari nol.
Fungsi trigonometri
Di fungsi trigonometri punya variabel x yang melibatkan rasio trigonometri, yang utama adalah:
f(x) = dosa(x)
f(x) = cos(x)
f(x) = tg(x)
fungsi akar
Fungsi akar dicirikan dengan memiliki variabel di dalam root, dengan ini, jika indeks akarnya genap, domain fungsi menjadi hanya bilangan real positif.
oleh Robson Luis
Guru matematika
