Apa itu trigonometri?

Trigonometri adalah kata asal Yunani yang mengacu pada ukuran tiga sudut. Studi di bidang Matematika ini fokus pada segitiga, yang merupakan poligon yang memiliki tiga sisi dan, akibatnya, tiga sudut. Pada awalnya, trigonometri itu berkaitan dengan mempelajari beberapa sifat dan hubungan segitiga siku-siku untuk kemudian menghubungkan pengukuran sisi segitiga dengan pengukuran sudut.

Properti dan hubungan ini diperluas ke segitiga apa pun melalui teorema yang dikenal sebagai hukum dosa dan hukum kosinus. Kemudian, beberapa dari hasil ini diamati pada segitiga yang sisi-sisinya merupakan segmen penting dari sebuah lingkaran, yang dikenal sebagai "lingkaran trigonometri".

ITU trigonometri mengusulkan hal baru yang hebat. Sebelumnya, hanya mungkin untuk mempertimbangkan perhitungan dan sifat yang melibatkan sisi eksklusif atau sudut eksklusif dari segitiga atau hubungan dasar antara elemen-elemen ini. Setelah tiba, adalah mungkin untuk secara langsung menghubungkan pengukuran sisi-sisi segitiga dengan pengukuran salah satu sudutnya. Patut dicatat bahwa hubungan antara sisi-sisi dan segmen-segmen penting dalam sebuah segitiga juga membentuk

trigonometri.

Sebelum membahas tentang konsep trigonometri, Penting untuk mengetahui apa elemen terpenting dalam segitiga siku-siku. Elemen-elemen ini ditetapkan di bawah ini:

Unsur-unsur segitiga siku-siku

Setiap segitiga siku-siku dapat dibagi lagi menjadi dua segitiga siku-siku lainnya, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah, menelusuri ketinggian "h" relatif terhadap alas "a".

Tinggi segitiga siku-siku ini membentuk dua sudut 90° dengan alasnya

Mengingat segitiga ABD, persegi panjang di B, dimungkinkan untuk mengamati elemen-elemen berikut:

1 – Sisi AB dan BD disebut sisi dan ukuran masing-masing adalah c dan b;

2 – Sisi AD disebut sisi miring dan pengukurannya adalah a. Sisi ini akan selalu berlawanan dengan sudut 90°;

3 – BE adalah tinggi segitiga ABD relatif terhadap alas AD dan pengukurannya adalah h. (mengingat bahwa ketinggian selalu membentuk sudut 90° dengan alas relatif terhadapnya);

4 – AE adalah proyeksi ortogonal kaki AB di atas sisi miring. Ukurannya adalah m;

5 – ED adalah proyeksi ortogonal kaki BD di atas sisi miring. Pengukurannya adalah n.

Selanjutnya, kami menyajikan dan membahas beberapa sifat yang terlihat dalam trigonometri, berdasarkan unsur-unsur segitiga siku-siku yang dipaparkan di atas.

Hubungan Metrik pada Segitiga Kanan

Mereka adalah persamaan yang menghubungkan sisi, tinggi dan proyeksi ortogonal dari segitiga siku-siku:

1) c² = rata-rata

2) b·c = a·h

3) h² =m·n

4) b² = tidak

5)² = b² + c² (Teori Pitagoras)

Perbandingan trigonometri atau perbandingan pada segitiga siku-siku

Persamaan ini menghubungkan rasio antara sisi-sisi segitiga siku-siku dengan salah satu sudut lancipnya. Untuk melakukannya, perlu untuk memperbaiki salah satu dari dua sudut dan mengamati, dalam segitiga siku-siku, definisi sisi yang berlawanan dan sisi yang berdekatan:

Segitiga persegi panjang, menyoroti sudut

BD adalah kaki yang berlawanan ke sudut ;

AB adalah kaki yang berdekatan ke sudut .

Ini adalah prasyarat untuk mendefinisikan rasio trigonometri. Apakah mereka:

→ Sinus dari .

dosa = Cathetus di seberang
Sisi miring

→ Kosinus dari

karena = Kateto berdekatan dengan
Sisi miring

→ Tangen dari

tg = Cathetus di seberang
Kateto berdekatan dengan

Alasan ini berlaku untuk semua segitiga siku-siku yang memiliki sudut lancip sama dengan. Hasil pembagian ini selalu sama, berapa pun panjang sisi segitiga, sebagai dua segitiga yang memiliki dua sudut yang sama, karena keserupaan segitiga sudut-sudut, memiliki sisi-sisi yang proporsional. Oleh karena itu, perbandingan antara sisi-sisinya adalah sama.

lingkaran trigonometri

Juga disebut siklus trigonometri atau lingkaran trigonometri (nama yang lebih tepat tetapi kurang umum), itu adalah lingkaran berorientasi jari-jari 1. Pada keliling ini, a segitiga siku-siku, yang sudut bertepatan dengan titik asal, sehingga tinggi segitiga ini bergerak dari sumbu absis ke tepi lingkaran.

Ketinggian ini bertepatan dengan nilai sinus, karena merupakan sisi yang berlawanan dengan sudut. Ukuran yang bergerak dari titik di mana ketinggian bertemu sumbu absis ke titik asal bertepatan dengan sisi yang berdekatan dengan sudut, yaitu dengan nilai kosinus.

Kebetulan ini terjadi karena sisi miring selalu 1, karena merupakan jari-jari lingkaran. Perhatikan properti ini pada gambar di bawah ini:

Lingkaran berjari-jari 1, di mana segitiga siku-siku ditempatkan untuk mengevaluasi sifat-sifatnya

Apapun segitiga siku-siku yang dibangun pada lingkaran ini, sisi yang bertepatan dengan bagian sumbu absis mengukur dengan tepat nilai kosinus dan sisi lainnya mengukur tepat sinus α.

Fungsi trigonometri

Dengan menggunakan lingkaran trigonometri, adalah mungkin untuk menentukan fungsi trigonometri yang menghubungkan setiap elemen dari himpunan bilangan real ke satu elemen juga dari himpunan bilangan real. Namun, angka-angka ini dinyatakan dalam radian, yang merupakan satuan ukuran sebagai fungsi dari yang digunakan karena, setelah 360° dalam lingkaran trigonometri, penghitungan derajat dan, akibatnya, elemen domain dan counter-domain dari suatu fungsi yang didasarkan padanya dapat dimulai kembali dari nol.

hubungan mendasar

Hubungan dasar trigonometri adalah:

1) Hubungan mendasar 1

Sen²+ cos²α = 1

2) tangen dari α

tg = dosa
karena

3) kotangen dari α, yang merupakan kebalikan dari garis singgung

kandang = karena
dosa

4) Bagian dari α, yang merupakan invers dari cosinus

detik = 1
karena

5) Cossecant dari, yang merupakan kebalikan dari sinus

cosec = 1
dosa

6) Hubungan yang timbul 1

tg²+ 1 = detik²α

7) Hubungan 2

pondok²+ 1 = cossec²α

8) Hubungan berulang

kandang = 1
tg

Oleh Luiz Paulo Moreira
Lulus matematika

Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-trigonometria.htm