Ukuran dispersi: varians dan standar deviasi

Dalam studi tentang Statistik, kami memiliki beberapa strategi untuk memeriksa apakah nilai yang disajikan dalam kumpulan data tersebar atau tidak dan seberapa jauh jaraknya. Alat yang digunakan untuk memungkinkan ini diklasifikasikan sebagai: langkah-langkah dispersi dan disebut perbedaan dan simpangan baku. Mari kita lihat apa yang masing-masing mewakili:

Perbedaan:

• Diberikan satu set data, varians adalah ukuran dispersi yang menunjukkan seberapa jauh setiap nilai dalam set itu dari nilai pusat (rata-rata).

• Semakin kecil varians, semakin dekat nilainya dengan mean; tetapi semakin besar, semakin jauh nilainya dari rata-rata.

• Pertimbangkan itu x₁, x₂, …, x_tidakmereka adalah tidak elemen dari Sampel Apakah itu X dan rata-rata aritmatika dari elemen-elemen ini. Perhitungan varians sampel Ini diberikan oleh:

  Var. sampel = (x₁ – x)² + (x₂ – x)² + (x₃ – x)² +... + (x_tidak – x)²
  ​n - 1

• Sebaliknya, jika kita ingin menghitung varians populasi, kami akan mempertimbangkan semua elemen populasi, bukan hanya sampel. Dalam hal ini, perhitungan memiliki perbedaan kecil. Menonton:

  Var. populasi = (x₁ – x)² + (x₂ – x)² + (x₃ – x)² +... + (x_tidak – x)²
  tidak

Standar deviasi:

• Standar deviasi mampu mengidentifikasi "kesalahan" dalam kumpulan data, jika kita ingin mengganti salah satu nilai yang dikumpulkan dengan mean aritmatika.

• Standar deviasi muncul di sebelah rata-rata aritmatika, menginformasikan seberapa "dapat diandalkan" nilai ini. Disajikan sebagai berikut:

  rata-rata aritmatika (x) ± simpangan baku (sd)

• Perhitungan standar deviasi dibuat dari akar kuadrat positif dari varians. Karena itu:

  dp = var

Sekarang mari kita terapkan perhitungan varians dan standar deviasi dalam sebuah contoh:

Di satu sekolah, dewan memutuskan untuk melihat jumlah siswa yang memiliki semua nilai di atas rata-rata di semua mata pelajaran. Untuk menganalisisnya dengan lebih baik, sutradara Ana memutuskan untuk menyusun tabel dengan jumlah nilai "biru" dalam sampel empat kelas selama setahun. Lihat di bawah tabel yang disusun oleh kepala sekolah:

Sebelum menghitung varians, perlu dilakukan pengecekan terlebih dahulu rata-rata aritmatika(x) jumlah siswa di atas rata-rata di setiap kelas:

tahun ke-6 → x = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
4 4

tahun ke-7 → x = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
4 4

tahun ke-8 → x = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
4 4

tahun ke-9 → x = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
4 4

Untuk menghitung varians jumlah siswa di atas rata-rata di setiap kelas, kami menggunakan a Sampel, itu sebabnya kami menggunakan rumus varians sampel:

Var. sampel = (x₁ – x)² + (x₂ – x)² + (x₃ – x)² +... + (x_tidak – x)²
n - 1

tahun ke-6 → Var = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
4 – 1

Var = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
3

Var = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
3

Var = 13,00
3
Var = 4.33

tahun ke-7 → Var = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
4 – 1

Var = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
3

Var = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
3

Var = 24,00
3
Var = 8.00

tahun ke-8 → Var = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
4 – 1

Var = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
3

Var = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
3

Var = 20,74
3
Var = 6,91

tahun ke-9 → Var = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
4 – 1

Var = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
3

Var = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
3

Var = 41,00
3
Var = 13,66

Setelah varians setiap kelas diketahui, sekarang mari kita hitung simpangan bakunya:

tahun ke-6 dp = var dp = 4.33 ​dp 2,08

tahun ke-7 dp = var dp = 8.00 ​dp 2,83

tahun ke-8 dp = var dp = 6,91 ​dp 2,63

tahun ke-9 dp = var dp = 13,66 ​dp 3,70

Untuk menyimpulkan analisisnya, kepala sekolah dapat menyajikan nilai-nilai berikut yang menunjukkan rata-rata jumlah siswa di atas rata-rata per kelas yang disurvei:

tahun ke-6: 7,50 ± 2,08 siswa di atas rata-rata per semester;
tahun ke-7: 8,00 ± 2,83 siswa di atas rata-rata per dua bulan;
tahun ke-8: 8,75 ± 2,63 siswa di atas rata-rata per dua bulan;
tahun ke-9: 8,50 ± 3,70 siswa di atas rata-rata per dua bulan;

Ukuran dispersi lainnya adalah koefisien variasi. Lihat disini cara menghitungnya!

Oleh Amanda Gonçalves
Lulus matematika

Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/medidas-dispersao-variancia-desvio-padrao.htm