Apa itu bilangan kompleks?

Sampai pertengahan abad ke-16, persamaan seperti x² – 6x + 10 = 0 dianggap “tidak ada solusi”. Hal ini karena, menurut rumus Bhaskara, ketika menyelesaikan persamaan ini, hasil yang didapat adalah:

Δ = (–6)² – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4

x = –(– 6) ± √– 4
2·1

x = 6 ± √– 4
2

Masalahnya ditemukan di – 4, yang tidak memiliki solusi dalam himpunan bilangan real, yaitu, tidak ada bilangan real yang, dikalikan dengan dirinya sendiri, menghasilkan – 4, karena 2·2 = 4 dan (–2)(–2) = 4.

Pada tahun 1572, Rafael Bombelli sibuk menyelesaikan persamaan x³ – 15x – 4 = 0 menggunakan rumus Cardano. Melalui rumus ini, dapat disimpulkan bahwa persamaan ini tidak memiliki akar real, karena pada akhirnya diperlukan untuk menghitung – 121. Namun, setelah beberapa upaya, dimungkinkan untuk menemukan bahwa 4³ – 15·4 – 4 = 0 dan oleh karena itu x = 4 adalah akar dari persamaan ini.

Mempertimbangkan keberadaan akar nyata yang tidak diungkapkan oleh rumus Cardano, Bombelli memiliki ide untuk mengandaikan bahwa – 121 akan menghasilkan (– 11·11) = 11·√– 1 dan ini bisa menjadi akar “tidak nyata” untuk persamaan dipelajari. Jadi, – 121 akan menjadi bagian dari jenis bilangan baru yang membentuk akar tak ditemukan lainnya dari persamaan ini. Jadi persamaan x

³ – 15x – 4 = 0, yang memiliki tiga akar, akan memiliki x = 4 sebagai akar real dan dua akar lainnya yang termasuk dalam jenis bilangan baru ini.

Pada akhir abad ke-18, Gauss menamai angka-angka ini sebagai bilangan kompleks. Pada saat itu, bilangan kompleks sudah berbentuk a + bi, dengan saya = – 1. Selanjutnya, Itu dan B mereka sudah dianggap sebagai titik bidang Cartesian, yang dikenal sebagai bidang Argand-Gauss. Dengan demikian, bilangan kompleks Z = a + bi memiliki representasi geometrik titik P (a, b) dari bidang Cartesian.

Oleh karena itu, ungkapan “bilangan kompleks” mulai digunakan mengacu pada himpunan numerik yang perwakilannya adalah: Z = a + bi, dengan i = – 1 dan dengan Itu dan B milik himpunan bilangan real. Representasi ini disebut bentuk aljabar bilangan kompleks Z.

Karena bilangan kompleks dibentuk oleh dua bilangan real dan salah satunya dikalikan dengan √– 1, bilangan real ini telah diberi nama khusus. Mengingat bilangan kompleks Z = a + bi, a adalah "bagian nyata dari Z" dan b adalah "bagian imajiner dari Z". Secara matematis, kita dapat menulis, masing-masing: Re (Z) = a dan Im (Z) = b.

Gagasan modulus bilangan kompleks dikristalkan secara analog dengan gagasan modulus bilangan real. Mengingat titik P(a, b) sebagai representasi geometris dari bilangan kompleks Z = a + bi, jarak antara titik P dan titik (0,0) diberikan oleh:

|Z| = √(Itu² + b²)

Cara kedua untuk merepresentasikan bilangan kompleks adalah melalui Bentuk polar atau trigonometri. Bentuk ini menggunakan modulus bilangan kompleks dalam konstitusinya. Bilangan kompleks Z, secara aljabar Z = a + bi, dapat dinyatakan dalam bentuk kutub dengan:

Z = |Z|·(cosθ + icosθ)

Sangat menarik untuk dicatat bahwa bidang Cartesian didefinisikan oleh dua garis ortogonal, yang dikenal sebagai sumbu x dan y. Kita tahu bahwa bilangan real dapat diwakili oleh garis, di mana semua bilangan rasional ditempatkan. Ruang yang tersisa diisi dengan bilangan irasional. Sedangkan bilangan real semuanya pada garis yang dikenal sebagai sumbu X dari bidang Cartesian, semua titik lain yang termasuk dalam bidang itu akan menjadi perbedaan antara bilangan kompleks dan bilangan real. Dengan demikian, himpunan bilangan real terkandung dalam himpunan bilangan kompleks.

Oleh Luiz Paulo Moreira
Lulus matematika

Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm