Belső szorzat két vektor között

O pont-szorzat két vektor között valós szám, amely összefüggésben van ezeknek a vektoroknak a nagyságával, vagyis hosszával és a közöttük lévő szöggel. Ennek kiszámításához tehát ismerni kell a hosszukat és a kialakított szöget.

A síkot alapul véve a vektor egy helyet, intenzitást, irányt és irányt jelöl. Ezért a mechanika (fizika) tanulmányaiban egy tárgyra kifejtett erő képviselőjeként használják.

A vektor szokásos ábrázolása egy nyíl, amely egy ponton végződik. Ennek a pontnak a koordinátái a vektor O koordinátáinak koordinátái (0,0). Írjuk v = (a, b), hogy képviseljük. Így az v = (1,2) vektort a következőképpen rajzoljuk:

Vektor példa az origótól kezdve

A vektor hosszának kiszámításához vegye figyelembe az általa képzett derékszögű háromszöget és annak vetületét az x tengelyen (vagy y tengelyen), a következő ábra szerint:

V vektor hossza

A v vektor hosszát nevezzük v vektornorma vagy vektor modul v és | v | jelöli. Vegye figyelembe, hogy a v = (a, b) vektor normája pontosan a háromszög hipotenuszának mértéke, amelyet a fenti ábra ábrázol. Ennek a mértéknek a kiszámításához a Pitagorasz-tételt használjuk:

| v |² = a² + b²

| v | = √ (a² + b² )

Két vektor dot termék

Két u és v vektor adott esetben a köztük lévő belső szorzatot a és meghatározása a következő:

= | u || v | · cosθ

Ez egyfajta szorzás két vektor között, azonban nem nevezzük szorzatnak, mivel nem gyakori szorzás, mivel magában foglalja a két vektor által alkotott szöget.

Szög két vektor között

A fenti meghatározásból adódó első eredmény a két vektor közötti szög. A „pont szorzat”, „u vektornorm” és „v vektornorm” valós számokkal kiszámítható az u és v vektorok szöge. Ehhez hajtsa végre a számításokat:

= | u || v | · cosθ

= cosθ
| u || v |

Ezért, elosztva a belső szorzatot az u és v vektor normáival, megtaláljuk a valós számot, amely a két vektor közötti koszinuszra, tehát a közöttük lévő szögre utal.

Vegye figyelembe, hogy ha két vektor szöge egyenes, akkor cosθ nulla. Ezért a fenti terméknek a következő eredménye lesz:

= 0

Ebből arra lehet következtetni, hogy két u és v vektorra tekintettel ortogonálisak lesznek, ha = 0.

Belső termék vektorkoordináták alapján számítva

Figyelembe véve a két u = (a, b) és v = (c, d) vektort, az u és v közötti pont szorzatot a

= = a · c + b · d

A termék belső tulajdonságai

Figyelembe véve az u, v és w vektorokat és az α valós számot:

én) =

Ez azt jelenti, hogy a vektorok belső szorzata „kommutatív”.

ii) = +

Ez a tulajdonság összehasonlítható az összeadás feletti szorzás disztributivitásával.

iii) = = α

Az u és v közötti szorzat kiszámítása szorozva az α valós számmal megegyezik a belső szorzat kiszámításával αv és u vagy v és αu között.

iv) = 0 <=> v = 0

V belső szorzata v-vel csak akkor nulla, ha v a nullvektor.

v) ≥ 0 minden v esetén.

A v és a v belső szorzata mindig nagyobb vagy egyenlő nullával.

Luiz Paulo Moreira
Matematikából végzett

Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produto-interno-entre-dois-vetores.htm