A körméret egy lapos geometriai ábra, amelyet a egyenlő távolságú pontok egyesülése, vagyis azonos távolságúak a központnak nevezett fix ponttól. A kerület vizsgálata a analitikai geometria, amelyben le lehet vezetni egy egyenletet, amely azt képviseli.
Habár a kör és kerület lapos geometriai ábrák, amelyekben van néhány közös elem, ami általában kétségekhez vezet, ezek az ábrák fontos különbségeket mutatnak, különösen a dimenziók tekintetében.
Olvassa el: Két pont közötti távolság - az analitikai geometria fontos fogalma
a kör elemei
Vegye figyelembe a kerületet:
A lényeg Ç ezt hívják a kör közepe, és vegye figyelembe, hogy az A és B pont hozzá tartozik. A középponton áthaladó kör végeit összekötő szakaszt az ún átmérő. Az előző kerületen akkor kell az átmérő az AB szegmens.
Hoz ossza át az átmérőt felére, kapjuk meg a kerület sugarát, vagyis a kör sugara (r) a szegmens csatlakozik a középponthoz és a végéhez. Ebben az esetben a sugár a CB szakasz. Matematikai kapcsolatot hozhatunk létre e két elem között, mivel az átmérő kétszerese a sugárnak.
d = 2 · r
Példa
Határozza meg annak a körnek a sugarát, amelynek átmérője 40 cm.
Tudjuk, hogy az átmérő kétszerese a sugárnak, így:
kerülete hossza
Vegyünk egy kört, amelynek sugara r értékű. O hossza vagy kerülete kerületének a szorzata adja meg çállandó pi (π) a sugár kétszeresével.
Amikor kiszámítjuk egy kör hosszát vagy kerületét, meghatározzuk a vonal méretét zöld az előző rajzban, és ehhez csak cserélje ki a sugár értékét a képletben, amelyre halad ábra.
Példa
Határozza meg az 5 cm sugarú kerület hosszát.
A kör sugara 5 cm, tehát a kör hosszának meghatározásához ezt az értéket kell helyettesítenünk a képletben.
C = 2πr
C = 2 (3,14) (5)
C = 6,24,5
C = 31,2 cm
Lásd még: Felírt sokszögek felépítése
kerületi terület
Tekintsünk egy r sugarú kört. A terület kiszámításához meg kell tennünk szorozzuk meg a sugárérték négyzetét π-vel.
A kör területének kiszámításakor meghatározzuk a felület nagyságát, vagyis a körön belüli teljes régiót.
- Példa
Határozza meg annak a körnek a területét, amelynek sugara 4 cm.
Megvan, hogy a kerület sugara egyenlő 4 cm-rel, ezért ezt a mértéket helyettesíthetjük a terület képletében. Néz:
A = π · r2
A = 3,14 · (4)2
A = 3,14 · 16
H = 50,24 cm2
A kerület csökkentette az egyenletet
Tudjuk, hogy egy kört ki lehet építeni azonos távolságú pontok összegyűjtése az origónak vagy középpontnak nevezett fix pontról. Tehát vegyen figyelembe egy fix pontot a Derékszögű sík O (a, b). Az a pontok halmaza - amelyeket P (x, y) képvisel - és amelyek ettől a rögzített ponttól azonos r távolságra vannak, r sugarú kört alkot.
Vegye figyelembe, hogy a P (x, y) alakú pontok mind azonos távolságban vannak az O (a, b) ponttól, azaz az O és P pontok közötti távolság megegyezik a kör sugarával, így:
Nál nél csökkentett egyenlet, vegye figyelembe, hogy a számok A és B a kör középpontjának koordinátái és az r a sugár mértéke.
- Példa
Határozza meg a középpont koordinátáit és az egyenletű kör sugarának mértékét:
a) (x - 2)2 + (y - 6)2 = 36
Összehasonlítva ezt az egyenletet a redukált egyenlettel, megkapjuk:
(x - A)2 + (y - B)2 = r2
(x - 2)2 + (y -6)2 = 36
Lásd, hogy a = 2, b = 6 és r2 = 36. Az egyetlen megoldandó egyenlet:
r2 = 36
r = 6
Ezért a középpont koordinátája: O (2, 6) és a sugár hossza 6.
b) (x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
Hasonlóképpen:
(x - A)2 + (y - B)2 = r2
(x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
a = 5
- b = 3
b = –3
Míg a sugár értékét a következő adja meg:
r2 = 121
r = 11
c) x2 + y2 = 1
(x - A)2 + (y - B)2 = r2
x2 + y2 = 1
Vegye figyelembe, hogy x2 = (x + 0)2 és y2 = (y + 0)2 . Tehát nekünk:
(x - A)2 + (y - B)2 = r2
(x + 0)2 + (y + 0)2 = 1
Ezért a középpont koordinátája O (0, 0), a sugár pedig 1.
Hozzáférhet továbbá: Hogyan lehet megtalálni a kör közepét?
a kör általános egyenlete
A kör általános egyenletének meghatározásához meg kell tennünk dolgozzuk ki a redukált egyenletet neki. Tekintsünk tehát egy kört, amelynek az O (a, b) és az r sugár koordinátáján van egy középpont.
Kezdetben a négyzet kifejezéseit a nevezetes termékek; akkor az összes számot átadjuk az első tagnak; és végül ugyanazon szó szerinti együtthatóval, vagyis ugyanazokkal a betűkkel fogjuk összekapcsolni a kifejezéseket. Néz:
Példa
Határozza meg a középpont koordinátáit és az egyenletű kör átlagos sugarát:
a) x2 + y2 - 4x - 6y + 4 + 9 - 49 = 0
Az egyenlettel rendelkező kör sugárának és koordinátáinak meghatározásához össze kell hasonlítanunk az általános egyenlettel. Néz:
x2 + y2 – 2.x - 2by + A2 + B2 –r2 = 0
x2 + y2 – 4x - 6y + 4 + 9 – 49 = 0
A zöld színű összehasonlításokból:
2. = 4
a = 2
vagy
A2 = 4
a = 2
A piros színű összehasonlításokból kiderül, hogy:
2b = 6
b = 3
vagy
B2 = 9
b = 3
Így azt mondhatjuk, hogy a központnak O koordinátája van (2, 3). Most, összehasonlítva r értékét, megvan:
r2 = 49
r = 7
Ezért a kör sugarának hossza egyenlő 7-vel.
b) x2 + y2 - 10x + 14y + 10 = 0
Hasonló módon hasonlítsuk össze az egyenleteket:
x2 + y2 – 2.x - 2by + A2 + b2 - r2 = 0
x2 + y2 –10x + 14y + 10 = 0
2. = 10
a = 5
B értékének meghatározása:
–2b = 14
b = - 7
Vegye figyelembe, hogy:
A2 + b2 - r2 = 10
Mivel ismerjük az a és b értékeit, helyettesíthetjük őket a képletben. Néz:
A2 + b2 - r2 = 10
52 + (–7)2 - r2 = 10
25 + 49 - r2 = 10
74 - r2 = 10
- r2 = 10 – 74
(–1) - r2 = –64 (–1)
r2 = 64
r = 8
Ezért a középpont koordinátái O (5, –7), a sugár hossza pedig 8.
A kerület és a kör közötti különbségek
A kör és a kör közötti különbség a dimenziók száma minden elem. Míg a körnek egy dimenziója van, addig a körnek két dimenziója van.
A kör egy olyan terület a síkban, amelyet az origónak nevezett fix ponttól egyenlő távolságra lévő pontok alkotnak. A kör a körön belül minden régióból áll. Lásd a képek közötti különbséget:
Lásd még:kerülete hossza és körterülete
megoldott gyakorlatok
1. kérdés - A kerület kerülete 628 cm. Határozza meg ennek a körnek az átmérőjét (fogadja el π = 3,14).
Felbontás
Mivel a kerület egyenlő 628 cm-rel, ezt az értéket helyettesíthetjük a kerületi hossz kifejezésben.
2. kérdés - Két kör koncentrikus, ha ugyanaz a középpontja. Ennek ismeretében határozza meg az üres ábra területét.
Felbontás
Vegye figyelembe, hogy a régió fehér felületének meghatározásához meg kell határoznunk a nagyobb kör, majd a kisebb kör területét kék színnel. Vegye figyelembe azt is, hogy ha eltávolítjuk a kék kört, akkor csak a kívánt régió marad meg, ezért ezeket a területeket le kell vonnunk. Néz:
ANAGYOBB = r2
ANAGYOBB = (3,14) · (9)2
ANAGYOBB = (3,14) · 81
ANAGYOBB = 254,34 cm2
Számítsuk ki most a kék kör területét:
AKISEBB = r2
AKISEBB = (3,14) · (5)2
AKISEBB = (3,14) · 25
AKISEBB = 78,5 cm2
Így az üres területet a nagyobb és a kisebb terület közötti különbség adja.
AFEHÉR = 254,34 – 78,5
AFEHÉR = 175,84 cm2
írta Robson Luiz
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia.htm
