Az összes létező számot a létrehozáskor az emberi szükségletek szerint hozták létre, ahogyan a természetes számok esetében is, ami az "állományok" és az irracionális számok számlálására és ellenőrzésére jöttek létre, amelyeket a következőkkel kapcsolatos problémák megoldására hoztak létre gyökerei. Pontosan a gyökerekkel kapcsolatos problémák indították el az ismereteket a komplex számok.
Az x másodfokú egyenlet2 + 4x + 5 = 0-nak nincs valódi gyökere. Ez azt jelenti, hogy a valós számok halmazán belül lehetetlen olyan x értékeket találni, amelyek megegyeznek az egyenlet első tagjával a másodikkal. Ezt a jelenséget Bhaskara képletének kezdetétől figyeljük meg:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Amint a Δ negatív értéket talált, lehetetlenné válik Bhaskara képletének folytatása, mivel megköveteli, hogy kiszámítsuk √Δ (delta gyökét). Most már tudjuk, hogy a √– 4 nem számítható ki, mert nincs olyan valós szám, amely önmagával megszorozva eredményezné - 4.
Ezen igények kielégítésére komplex számokat hoztunk létre. Létrehozását követően a √– 4 a következőképpen fejleszthető:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
A √ (- 1) egy új típusú számként értendő. Ezen számok halmazát összetett számok halmazának nevezzük, és ennek az új halmaznak minden egyes képviselőjét a következőképpen határozzuk meg: Legyen A komplex szám,
A = A + Bi, hol Aés B valós számok, és i = √ (- 1)
Ebben a meghatározásban A Néven ismert A valódi része és B Néven ismert képzeletbeli A. része
A komplex számok tulajdonságai
A valós számok teljes egészében és geometrikusan egy vonalat képviselnek. A komplex számok viszont egy egész síkot képviselnek. A komplex számok ábrázolására használt derékszögű sík Argand-Gauss sík néven ismert.
Minden komplex szám ábrázolható az Argand-Gauss síkon koordináták pontjaként (a, b). A komplex számot képviselő ponttól a ponthoz (0,0) való távolságot a komplex szám modulusának nevezzük., amelyet a következők határoznak meg:
Legyen A = a + bi komplex szám, modulusa | A | = a2 + b2
A komplex számoknak van egy inverz eleme is, amelyet konjugátumnak hívnak. Meghatározása:
Legyen A = a + bi komplex szám,
Ā = a - bi ennek a számnak a konjugátuma.
1. tulajdonság: A komplex szám és a konjugátum szorzata megegyezik a komplex szám valós részének és képzeletbeli részének négyzetének összegével. Matematikailag:
AĀ = a2 + b2
Példa: Mi az A = 2 + 5i szorzata konjugátumával?
Csak végezze el a számítást: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Ha úgy döntünk, hogy megírjuk az A konjugátumát, és ezt követően elvégezzük az AĀ szorzást, akkor:
AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)
AĀ = 4 - 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
Vagyis a javasolt tulajdonság használatával elkerülhető a hosszú számítás, valamint a hibák a számítások során.
2. tulajdonság: Ha az A komplex szám egyenlő a konjugátumával, akkor A valós szám.
Legyen A = a + bi. Ha A = Ā, akkor:
a + bi = a - bi
bi = - bi
b = - b
Ezért b = 0
Ezért kötelező, hogy minden konjugátumával megegyező komplex szám valós szám is legyen.
3. tulajdonság: Két komplex szám összegének konjugátuma megegyezik ezen számok konjugátumainak összegével., vagyis:
_____ _ _
A + B = A + B
Példa: Mi a 7 + 9i és 2 + 4i összegének konjugátuma?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 - 9i + 2 - 4i = 9 - 13i
Először hozzáadhatja, majd kiszámíthatja az eredmény konjugátumát, vagy előbb elkészítheti a konjugátumokat, majd később hozzáadhatja az eredményeket.
4. tulajdonság: A termék konjugátuma két komplex szám között megegyezik a konjugátumok szorzatával, azaz:
__ _ _
AB = A · B
Példa: Mi az A = 7i + 10 és B = 4 + 3i konjugátumok szorzata?
(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10 - 7i) · (4 - 3i) = 40 - 30i - 28i - 21 = 19 - 58i
A gyakorlat szükségességétől függően lehetőség van először megsokszorozni és utána kiszámítani a konjugátumot, vagy megjeleníteni a konjugátumokat a szorzás elvégzése előtt.
5. tulajdonság: Az A komplex szám és a konjugátum szorzata megegyezik az A modulus négyzetével, azaz:
AĀ = | A |2
Példa: A = 2 + 6i, majd AĀ = | A |2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Ne feledje, hogy nem szükséges megtalálni a konjugátumot és elvégezni a szorzást az összeadás eloszlási tulajdonságán keresztül (az úgynevezett kis zuhanyfej).
6. tulajdonság: A komplex szám modulusa megegyezik a konjugátum modulusával. Más szavakkal:
| A | = | Ā |
Példa: Keresse meg az A = 3 + 4i komplex szám konjugátumának modulusát.
Ne feledje, hogy nem szükséges megtalálni a konjugátumot, mivel a modulok ugyanazok.
| A | = √ (a2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Ha kiszámítanánk | Á | -t, az egyetlen változás a B negatív négyzet, amelynek pozitív eredménye. Így az eredmény továbbra is a 25 gyökere lenne.
7. tulajdonság: Ha A és B komplex számok, akkor A és B modulus szorzata megegyezik A és B szorzatának modulusával.azaz:
| AB | = | A || B |
Példa: Legyen A = 6 + 8i és B = 4 + 3i, mennyi | AB |
Ne feledje, hogy a modulus kiszámítása előtt nem szükséges összetett számokat szorozni. Lehetőség van minden egyes komplex szám modulusának külön-külön kiszámítására, majd az eredmények szorzására.
| A | = √ (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
| B | = √ (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
| AB | = | A || B | = 10,5 = 50
Luiz Paulo Moreira
Matematikából végzett
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm