Polyhedra (latin nyelvről poli - sok - és hedron - arc) vannak ábrákháromdimenziós szabályos sokszögek egyesülésével alakult ki, amelyben a sokszögű szögek egybevágnak. Ezeknek a sokszögeknek az uniója a sokszöget alkotó elemeket alkotja: csúcsok, élek és arcok. Azonban nem minden háromdimenziós ábra sokszög, erre példa az ívelt arcú figurák, ún. kerek testek.
Van egy matematikai képlet, amely az úgynevezett sokszög elemeit kapcsolja össze Euler kapcsolata. Ezenkívül a poliéderek két csoportra oszthatók: az úgynevezett poliéderekre konvex és a nem domború. Néhány poliéder különös figyelmet érdemel, hívják őket Platón poliédere: tetraéder, kocka, oktaéder, dodekaéder és ikozaéder.
Olvassa el: Különbségek a lapos és a térbeli ábrák között
domború poliéder
A poliéder konvex lesz, ha a sokszögek konvex, hogy a következő feltételeket fogadják el:
- két sokszög Soha koplanárisak, vagyis nem ugyanabba a síkba tartoznak.
- Ezen sokszögek egyik oldala csak két sokszöghez tartozik.
- A sokszögek bármelyikét tartalmazó sík ugyanabban a féltérben hagyja a többi sokszöget.
Olvassa el:Egy konvex sokszög belső és külső szögeinek összege
Konvex poliéder elemei
Tekintsük ezt a domború poliédert:
Ön négyszögek ábrán nevezzük arcok a sokszög.
Ön ötszögű a sokszög arcai és alapja, amelyet elneveznek ötszögű alapú poliéder.
Az egyes arcokat alkotó szegmenseket hívjuk élek a sokszög.
Az élek találkozási pontjait hívjuk csúcsok.
A JC vonalszakaszt hívják meg átlós a sokszög, amelyet a következők jelölnek:
A JC az egyik átló, értjük átlós a poliéder lényének az a vonalszakasz, amely két, ugyanazon oldalhoz nem tartozó csúcsot egyesít.
Megvan az élek között kialakított sokszögű szög is, amelyet a következők jelölnek:
A sokszögű szöget a háromoldalú Mikor három az élek egy csúcsból származnak. Ugyanígy hívják tetraéderes, ügy négy az élek egy csúcsból származnak, és így tovább.
Mostantól fogunk létrehozni néhány jelölést, ezek a következők:
Többet tud: Geometriai szilárd anyagok tervezése
Egy domború poliéder tulajdonságai
1. tulajdonság
Az összes oldal széleinek összege megegyezik a poliéder éleinek kétszeresével.
Példa
A poliéder 6 négyzet alakú. Határozzuk meg az élek számát.
A tulajdonság szerint csak szorozzuk meg egy arc éleinek számát az arcok számával, és ez megegyezik az élek kétszeresével. Így:
2. tulajdonság
Az összes arc csúcsainak összege megegyezik az összes oldal széleinek összegével, amely megegyezik az élek számának kétszeresével.
Példa
5 tetraéderes és 4 hatszögletű szögű poliéder. Határozzuk meg az élek számát.
Az előző példához hasonlóan a második tulajdonság azt mondja, hogy az összes arc éleinek összege megegyezik az élek számának kétszeresével. Az élek számát az 5: 4 és a 4: 6 szorzata adja meg, mivel ezek 5 tetraéderes és 4 hexaéderes szögek. Így:
Homorú (nem domború) poliéder
A sokszög nem domború, vagy konkáv, amikor két pontot veszünk a különböző oldalakra és az egyenesre r amely tartalmazza ezeket a pontokat, nem minden található a poliéderben.
Ne feledje, hogy az egyenes (kék színnel) nem teljes a sokszögben, így a sokszög (rózsaszínben) homorú vagy nem domború.
szabályos poliéder
Azt mondjuk, hogy a sokszög akkor szabályos, amikor arcod szabályos sokszög egyenlő egymással és a sokszögű szögekkel egyformán.
Néhány példa:
Figyelje meg, hogy az összes arca szabályos sokszög. Arcát négyzetek alkotják, és az élek mind egybevágnak, vagyis azonos mértékűek.
olvasis: Mi a szabályos és konvex sokszög?
Euler kapcsolata
Más néven Euler tétele, az eredményt Leonhard Euler (1707 - 1783) bizonyította és garantálja, hogy mind zárt domború poliéder a következő kapcsolat érvényes:
Platón Polyhedra
Minden olyan poliédert, amely megfelel a következő feltételeknek, Platón poliéderének nevezzük:
Az Euler-reláció érvényes
Minden arcnak ugyanannyi éle van
Minden sokszögű szögnek ugyanannyi éle van
Bizonyított, hogy csak öt szabályos és domború poliéder vagy Platón poliédere van, ezek:
szabályos tetraéder
a tetraéder rendelkezik 4 háromszög alakú arc egybevágó és 4 háromfejű szög egybevágó.
szabályos hexaéder
a hatszögnek van 6 négyzet alakú arc egybevágó és 8 háromfejű szög egybevágó.
szabályos oktaéder
az oktaéder rendelkezik 8 háromszög alakú arc egybevágó és 6 tetraéderes szög egybevágó.
szabályos dodekaéder
a dodekaédernek van 12 ötszögletű arc egybevágó és 20 szögháromoldalú egybevágó.
szabályos ikozaéder
Az ikozaédernek van 20 háromszög alakú arc egybevágó és 12 pentáderes szög egybevágó.
megoldott gyakorlatok
1) (Ellenség) Egy ékszert 32 arcú, domború poliéder alakban vágtak, ebből 20 hexaéder, a többi pedig ötszögletű. Ez az ékszer ajándék lesz egy olyan hölgy számára, aki születésnapját ünnepli, kitöltve egy olyan kort, amelynek száma a sokszög csúcsainak száma. Ez a hölgy befejezi:
a) 90 év
b) 72 éves
c) 60 éves
d) 56 éves
e) 52 éves
Megoldás:
Ad tulajdonság 1 domború poliéderekről tudjuk, hogy:
Most hogy tudjuk az élek számát ez a arcok száma, használhatjuk az Euler relációt.
Mivel az Ön által betöltött életkor megegyezik a csúcsok számával, ez 60 év. Alternatív c.
2) (PUC-SP) Hány éle van egy domború sokszögnek háromszög alakú arcokkal, ahol a csúcsok száma az arcok háromötöde?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Megoldás:
A konvex poliéder tulajdonságaiból és a gyakorlati utasításból megtudhatjuk:
Ha ezeket az értékeket behelyettesítjük az Euler relációba, akkor a következők állnak rendelkezésünkre:
Az előző egyenlet megszervezésével és az F egyenletének megoldásával következik, hogy:
Az élek egyenletében talált arcok számának helyettesítésével a következőket kapjuk:
Alternatíva b
írta Robson Luiz
Matematikatanár
