A algebrai kifejezésfaktorizálás abból áll, hogy egy algebrai kifejezést írunk termékforma. Gyakorlati esetekben, vagyis néhány, ezzel járó probléma megoldásában algebrai kifejezések, a faktorálás rendkívül hasznos, mert a legtöbb helyzetben leegyszerűsíti a kidolgozott kifejezést.
Az algebrai kifejezések faktorizálásához a matematikában egy nagyon fontos eredményt fogunk használni a számtan alapvető tétele, amely kimondja, hogy bármely 1-nél nagyobb egész szám megírható szorzataként prímszámok, Néz:
121 = 11 · 11
60 = 5 · 4 · 3
Csak kiszámoltuk a 121-es és 60-as számokat.
Olvasd el te is: Szám bontása prímtényezőkké
Az algebrai kifejezések faktorálásának módszerei
Most megnézzük a fő faktorizálási módszereket, a leggyakrabban használtakat pedig rövid geometriai igazolást készítünk. Néz:
Bizonyítékfaktorozás
Tekintsük a téglalapot:
Vegye figyelembe, hogy a téglalap kék plusz a zöld téglalap területe eredményezi a nagyobb téglalapot. Nézzük meg ezeket a területeket:
AKÉK = b · x
AZÖLD = b · y
ANAGYOBB = b · (x + y)
Tehát:
ANAGYOBB = AKÉK + AZÖLD
b (x + y) = bx + by
Példák
A) A kifejezés tényezője: 12x + 24y.
Vegye figyelembe, hogy a 12 a bizonyíték tényezője, mivel mindkét csomagban megjelenik, ezért a zárójelben lévő számok meghatározásához elegendő Ossza meg minden egyes csomagot a bizonyíték tényezője szerint.
12x: 12 = x
24 év: 12 = 2y
12x + 24y = 12 · (x + 2y)
B) A 21ab kifejezés faktorszámolásához2 - 70.2B.
Ugyanígy, kezdetben meghatározzák a bizonyíték tényezőjét, vagyis azt a tényezőt, amely a csomagokban megismétlődik. Lásd, hogy a numerikus részből megvan a 7 mint közös tényező, mivel ez osztja fel mindkét számot. A szó szerinti részt illetően nézze meg, hogy csak a tényező ismétlődik meg abezért a bizonyíték tényezője: 7ab.
21ab2 - 70.2b = 7ab (3b - 10A)
Olvasd el te is: Polinomiális felosztás: hogyan kell csinálni?
Faktoring csoportosítással
A csoportosítás szerinti faktorálás az tények alapján történő bizonyításból adódóan, az egyetlen különbség az, hogy ahelyett, hogy a monómium lenne közös tényező vagy tényező a bizonyítékokra, a polinom, lásd a példát:
Tekintsük az (a + b) · xy + (a + b) · wz kifejezést2
Ne feledje, hogy a közös tényező a binomiális (a + b),ezért az előző kifejezés faktorált formája:
(a + b) · (Xy + wz2)
két négyzet közötti különbség
Vegyünk két a és b számot, ha van a különbség e számok négyzetének, vagyis a2 - B2, így írhatjuk őket a a különbség összegének szorzataazaz:
A2 - B2 = (a + b) · (a - b)
Példák
A) Az x kifejezés faktorizálása2 - y2.
Két négyzet különbségét használhatjuk, így:
x2 - y2 = (x + y) · (x - y)
B) A 2020-as tényezőnek2 – 2.0192.
Két négyzet különbségét használhatjuk, így:
2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)
2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1
2.0202 – 2.0192 = 4.039
A tökéletes négyzet háromszöge
Vegyük a következő négyzetet az oldalról (a + b), és jegyezzük fel a benne kialakult négyzetek és téglalapok területét.
Lásd a. Területét négyzet nagyobbat ad (a + b)2, de másrészt a legnagyobb négyzet területe úgy kapható meg, hogy a benne lévő négyzeteket és téglalapokat hozzáadjuk, így:
(a + b)2 = a2+ ab + ab + b2
(a + b)2 = a2+ 2b + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Hasonlóképpen:
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Példa
Tekintsük az x kifejezést2 + 12x + 36.
Az ilyen típusú kifejezés faktorálásához egyszerűen azonosítsa az x változó együtthatóját és a független együtthatót, és hasonlítsa össze az adott képlettel, lásd:
x2 + 12x + 36
A2 + 2ab + b2
Az összehasonlításokat elvégezve nézze meg, hogy x = a, 2b = 12 és b2 = 36; az egyenlőségek közül megvan, hogy b = 6, tehát a faktori kifejezés a következő:
x2 + 12x + 36 = (x + 6)2
Középiskolai Trinomial
Tekintsük a háromszöget2 + bx + c. Faktoros alakja a a gyökereid, vagyis az x értékei nullázzák ezt a kifejezést. Annak érdekében, hogy meghatározza azokat az értékeket, amelyek nullává teszik ezt a kifejezést, csak oldja meg az egyenlet tengelyét2 + bx + c = 0 bármilyen módszerrel, amely kényelmes. Itt emeljük ki a legismertebb módszert: Bhaskara módszer.
A fejsze trinomiális faktorszámú alakja2 + bx + c:
fejsze2 + bx + c = a · (x - x1) · (X - x2)
Példa
Tekintsük az x kifejezést2 + x - 20.
Az első lépés az x egyenlet gyökereinek meghatározása.2 + x - 20 = 0.
Tehát az x kifejezés faktorált formája2 + x - 20:
(x - 4) · (x + 5)
A két szám közötti különbség kocka
Két a és b szám közötti különbség kockáját a következő adja meg:
(a - b)3 = (a - b) · (a - b)2
(a - b)3 = (a - b) · (a2 - 2ab + b2)
Kocka két szám összegéből
Hasonlóképpen megvan az (a + b)3 = (a + b) · (a + b)2 , hamar:
(a + b)3 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)
megoldott gyakorlatok
1. kérdés - (Cefet-MG) Ahol az n = 6842 – 6832, n számjegyeinek összege:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
Felbontás
D. Alternatíva Az n számjegyeinek összegének meghatározásához először figyelembe vesszük a kifejezést, mivel a négyzetek kiszámítása, majd kivonása felesleges munka. A kifejezés két négyzet közötti különbség felhasználásával számításba veszi:
n = 6842 – 6832
n = (684 + 683) · (684 - 683)
n = 1 367 · 1
n = 1,367
Ezért az n számjegyeinek összegét 1 + 3 + 6 + 7 = 17 adja meg
2. kérdés - (Módosított Insper-SP) Határozza meg a kifejezés értékét:
Felbontás
A jelölés megkönnyítése érdekében nevezzük meg a = 2009 és b = 2 értékeket. ne feledje, hogy 22 = 4, tehát nekünk kell:
Figyeljük meg, hogy a tört számlálójában megvan a különbség két négyzet között, így megírhatjuk a2 - B2 = (a + b) (a - b). Hamar:
a - b = 2009 - 2 = 2007.
írta Robson Luiz
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-expressao-algebrica.htm
