A kombinatorikus elemzés a számolási szabályokkal társult matematikai terület. A 18. század elején a dobókockákkal és kártyákkal végzett játékok tanulmányozása nagy eredményeket hozott a számlálási elméletek terén.
A kombinatorika munkája lehetővé teszi az egyre pontosabb számlálás megvalósítását.A számlálás alapelve (ŐRVEZETŐ), a faktoriális és a csoportosítás típusai a kombinatorikus elemzésben vizsgált fogalmak példái, amelyek a megadás mellett nagyobb a pontosság segít nema matematika egyéb területeinek fejlesztése, mint pl A valószínűség és O Newton binomiálja.
Olvasd el te is: elrendezés vagy çkombináció?
Mire szolgál a kombinatorikus elemzés?
A kombinatorikus elemzés a számlálási folyamathoz kapcsolódik, vagyis a matematika ezen területének vizsgálata lehetővé teszi számunkra, hogy olyan eszközöket dolgozzunk ki, amelyek segítenek a teljesítésben hatékonyabban számít. Nézzünk meg egy tipikus számlálási problémát, lásd:
1. példa
Tekintsünk három A, B és C várost, amelyeket R autópályák kötnek össze
1, R2, R3, R4 és R5. Határozza meg, hányféleképpen juthatunk el A városból C városba B városon keresztül.
Ne feledje, hogy el kell hagynunk az A várost és a B városba, és csak ezután utazhatunk a C városba, ezért elemezzük az összes lehetőségeket hogy az autópályákat követő rendezvényt lebonyolítsák.
1. út: R1 → R3
2. út: R1 → R4
3. út: R1 → R5
4. út: R2 → R3
5. út: R2 → R4
6. út: R2 → R5
Tehát hatféleképpen lehet eljutni A városból C városba B városon keresztül. Azonban vegye figyelembe, hogy a javasolt probléma viszonylag egyszerű, és hogy az elvégzett elemzés kevéssé fáradságos volt. Tehát mostantól kifinomultabb eszközöket fogunk tanulmányozni, amelyek sokkal kevesebb munkával lehetővé teszik a problémák megoldását.
A számlálás alapelve (PFC)
Vegyünk egy E eseményt, amelyet n egymástól független és egymást követő lépésben lehet végrehajtani. Most vegyük figyelembe, hogy az első lépés végrehajtásának lehetőségei megegyeznek P-vel1, képzelje el azt is, hogy a második szakasz elvégzésének lehetőségei P száma.2, és így tovább, amíg el nem érjük az utolsó stádiumot, amelynek P-je vannem elvégzendő lehetőségek.
A számlálás alapelve (PFC) kimondja, hogy a teljes lehetőségek az E rendezvény megrendezésének adata:
P1 · P2 ·… · Pnem
Így az összértéket az E eseményt alkotó egyes lépések lehetőségeinek szorzata adja. Ne feledje, hogy az E esemény megtartásának teljes lehetőségeinek meghatározásához ismerni kell az egyes szakaszok teljes lehetőségeit.
2. példa
Ismételjük meg az 1. példát a számolás alapelvével.
Tekintsük az 1. példában szereplő képet.
Ne feledje, hogy az esemény két szakaszban futtatható, az első az A városból a B városba, a második a B városból a C városba tart. Az első lépés végrehajtásához két lehetőségünk van (R út1 és R2), és a második szakasz végrehajtásához három lehetőségünk van (R3, R4 és R5).
1. lépés → két lehetőség
2. szakasz → három lehetőség
A számlálás alapelvével meg kell tennünk szaporodnak az egyes lépések teljes lehetőségei.
2 · 3
6
Ezért az A városból a C városba a B városon keresztül haladva összesen hat lehetőség áll rendelkezésünkre.
3. példa
A három olimpiai érem hányféleképpen osztható fel a Mountain bike öt versenyzővel?
Az érmek kiosztásának megszervezése három szakaszban lebonyolítható esemény. Az első lépés annak elemzése, hogy ki kapja meg az aranyérmet, azaz öt lehetőségeket.
A második lépés annak elemzése, hogy ki kapja meg az ezüstérmet, vagyis négy, mivel az első hely nem lép be ebbe a választásba. A harmadik lépés annak elemzése, hogy ki kapja meg a bronzérmet, vagyis három, mivel az első kettőt már kiválasztották.
1. lépés → öt lehetőség
2. szakasz → négy lehetőség
3. szakasz → három lehetőség
Tehát a számlálás alapvető elvével:
5 · 4 · 3
60 lehetőség
Lásd még: Additív számlálási elv - egy vagy több halmaz egyesítése
Faktoriális
O faktoriális a módja lebontani egy természetes számot. Egy szám faktoriálisának kiszámításához csak szorozzuk meg az összes előddel az 1-es számig. A faktoriált a felkiáltójel - „!” - képviseli.
Lásd néhány példát arra, hogyan lehet kiszámítani egyes számok faktoriálját.
A) 2! (így szól: két tényező)
A számításhoz csak szorozza meg a tényezőt kísérő számot az összes elődjével az 1-es számig, így:
2! = 2 ·1 = 2
B) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
ç) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
d) 1! = 1
Formálisan a következőképpen írhatjuk a faktoriált:
Tekintsük az n> 2 természetes számot. N tényezőjét n jelöli! és úgy adjuk meg, hogy megszorozzuk n pozitív összes elődjével.
nem! = n (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) ·… · 1
Vegye figyelembe a következő tényezőket:
4! és 5!
Most végezze el mindkettő fejlesztését:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
Vegye figyelembe, hogy az 5 fejlesztése során! megjelenik a 4!. fejlesztése. Így megírhatjuk az 5-öt! így:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
4. példa
Számítsa ki a faktoriális mpüvöltés:
Lásd, hogy a 15! 13-ig fejlesztették ki. Vegye figyelembe azt is, hogy a tört számlálójában az elemek szorzása megtörténik, így „kivághatjuk” a 13-at!, Ami csak 15 · 14-et eredményez.
Megfigyelés:0! = 1
Típusok csoportosítása
Néhány számlálási probléma összetettebb és könnyebben megoldható új eszközökkel. Ezeket az eszközöket csoportosításnak hívják, mert különböző módon csoportosítják az elemeket, megkönnyítve ezzel a számlálási folyamatot. Ezek a csoportosítások: egyszerű elrendezés, permutáció és egyszerű kombináció.
egyszerű elrendezés
Tekintsünk egy n különálló elemet tartalmazó halmazt. nevezzük elrendezés n-től a p-től p-ig vett elemek, bármelyik p-vel rendezett szekvencia és az elemek közül kiválasztott különálló elemek.
Így a p elemek alkotta részhalmazok száma n elem elrendezése lesz, p-től p-ig. A képletet, amely lehetővé teszi számunkra az elrendezések számának kiszámítását, az alábbiak adják meg:
5. példa
Számítsa ki az A értékét4,2 + A5,2.
A kifejezés értékének kiszámításához határozzuk meg az egyes tömböket, majd adjuk össze ezeket az értékeket. Az egyes tömbök értékének meghatározásához ki kell cserélnünk az értékeket a képletbe.
Vegye figyelembe, hogy n = 4 és p = 2, mindkettő helyettesítve van a képletben. Most ki kell számolnunk az öt elem tömbjének értékét, amelyeket kettő-kettő vesz fel.
Tehát:
A4,2 + A5,2
12 + 20
32
6. példa
Hány különálló négyjegyű természetes szám képezhető a 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 és 9 számok felhasználásával?
Ebben a feladatban használhatjuk az egyszerű elrendezést, mivel 2435 ≠ 4235. Látni fogjuk, hogy egyes esetekben az elemek sorrendje nem különbözteti meg őket, ezért nem használhatjuk az elrendezést.
Mivel meg akarjuk határozni a kialakítható összes számot, vegye figyelembe, hogy az elemek összege egyenlő nyolc, és négyszer akarjuk őket csoportosítani, így:
egyszerű permutáció
Tekintsünk egy n elemű halmazt. nevezzük egyszerű permutáció n elemből n elem minden elrendezése n-ről n-re kerül. Tehát nekünk:
Annak érdekében, hogy ne legyen összetévesztés a fogalmak között, jelöljük n elem egyszerű permutációját P-velnem. Tehát nekünk:
Pnem = n!
7. példa
Számítsa ki a P értéket7 és P3.
Ezen permutációk kiszámításához ki kell cserélnünk az értékeket a képletbe. Néz:
P7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
P3 = 3 · 2 · 1
P3 = 6
8. példa
Határozza meg, hogy hány anagramm lehet a Brazília szóban.
Anagrammaként értjük a szó betűinek minden lehetséges átültetését, például a "Lisarb" egy anagramma a Brazília szó. Az anagrammák számának meghatározásához ki kell számolnunk a szóban szereplő betűk permutációját, ezért:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Ezért a Brazília szónak 720 anagrammája van.
Hozzáférhet továbbá: Permutáció ismételt elemekkel
egyszerű kombináció
Vegyünk egy A halmazt n különálló elemmel. nevezzük kombináció az n elem közül p-re p az A bármely részhalmaza, amelyet p elemek alkotnak. A kombináció kiszámításának képletét az alábbiak adják meg:
9. példa
Számítsa ki a négy elemtől négyig vett 10 elem kombinációját.
10. példa
Mennyi négyszögek megkülönböztethetünk-e csúcsokkal az A, B, C, D, E és F pontokon?
Vegye figyelembe, hogy az ABCD négyszög ebben az összefüggésben megegyezik a CDBA négyszögével, ezért nem a tömböt, hanem a kombinációt kell használnunk. Összesen hat pontunk van, és négyszer-négyesen szeretnénk ezeket kombinálni, így:
Ezért 15 különálló négyszöget alkothatunk.
Kombinatorikus elemzés és valószínűség
Tanulmányozása a valószínűség szorosan összefügg a kombinatorikus elemzés tanulmányozásával.. Bizonyos valószínűségi problémák esetén meg kell határozni a mintateret, amely egy adott esemény összes lehetséges kimenetele által alkotott halmazból áll.
Bizonyos esetekben az E mintateret nagyon közvetlenül írják, mint egy tisztességes érme flipjében, ahol a lehetséges eredmények fejek vagy farok, és a következőképpen vannak jelölve:
E = {fej, farok}
Most képzelje el a következő helyzetet: a szerszámot háromszor egymás után dobják, és érdekel minket a kísérlet mintaterének meghatározása. Vegye figyelembe, hogy az összes lehetőség leírása már nem egyszerű feladat, a számlálás (PFC) alapelvét kell alkalmaznunk. Az eseményt három szakaszban lehet lebonyolítani, mindegyikben hat lehetőségünk van, mivel a szerszámnak hat arca van, például:
1. szakasz → hat lehetőség
2. szakasz → hat lehetőség
3. szakasz → hat lehetőség
A PFC szerint a lehetőségek összessége:
6 · 6 · 6
216
Tehát elmondhatjuk, hogy ennek az eseménynek a mintaterülete 216.
Lásd, hogy a valószínűség tanulmányozásához szükséges a kombinatorikus elemzés alapismerete., mert egy kísérlet mintaterületének meghatározása nélkül lehetetlen megoldani a valószínűségi gyakorlatok túlnyomó részét. További részletekért erről a matematikai területről olvassa el a szöveget:Valószínűség.
megoldott gyakorlatok
1. kérdés - Határozza meg a vár szó anagrammáinak számát. Ezután határozza meg a c betűvel kezdődő anagrammák számát.
Felbontás
Az anagrammák számának meghatározásához ki kell számolnunk a betűk számának permutációját, így:
P7 = 7!
P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
A szónak 5040 anagrammája van. A c betűvel kezdődő anagrammák számának meghatározásához meg kell erősítenünk a betűt, és ki kell számolnunk a többiek anagrammait, lásd:
Ç__ __ __ __ __ __
A c betű kijavításakor vegye figyelembe, hogy hat mező van hátra a permutáció kiszámításához, így:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Tehát 720 anagrammunk van a vár szóból, amelyek a c betűvel kezdődnek.
2. kérdés - Egy osztályteremben öt férfi és hét nő van. Hány csoportból áll három férfi és négy nő?
Felbontás
Először is, nézze meg, hogy az emberek sorrendje nem számít, például a João által alkotott csoport, Marcos és José ugyanaz a csoport, amelyet Marcos, João és José alkotott, ezért a kombinációt a számítás.
Számítsuk ki külön a csoportok számát, melyeket férfiak és nők alkothatnak, illetve az Akkor szaporítsuk ezeket az eredményeket, mert a férfiak minden csoportja keveredhet az egyes csoportokkal nők.
Férfiak
Összesen → 5
Mennyiség a csoportban → 3
Nők
Összesen → 7
Mennyiség a csoportban → 4
Ezért három férfi és négy nő alkothatja az összes csoportot:
Ç5,3 · Ç7,4
10 · 35
350
írta Robson Luiz
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm