Mi az a permutáció?

Permutáció a tudományágban tárgyalt tárgyak egyike kombinatorikus elemzés matematikában. Ha bármilyen rendezett szekvencia van „n” számú különálló elemmel, akkor minden más szekvenciát, amelyet ugyanazok az „n” átrendezett elemek alkotnak, permutáció.

Így azt mondhatjuk, hogy ha A B permutációja, akkor A és B ugyanazokból az elemekből áll, de másképp rendezve.

Honnan származnak a permutációk?

A permutációk a Egyszerű elrendezések. Ezek az A elemek halmazának rendezett csoportosítása, így a csoportoknak kevesebb vagy egyenlő számú elemük van, mint az A halmaznak.

Az A = {X, Y, Z}, {X, Y} és {Y, X} halmaz a egyszerű elrendezés A-ból 2-től 2-ig vett elemek közül. Az A elemek számát „n” betű képviseli. O Rendelésszám, vagy osztály száma, a „k”. Ez a szám az egyes tömbök elemeinek száma (a példa esetében ez a szám 2).

Az A három elemének 3–3 elemei az összes egyszerű elrendezéssel a következők:

XYZ, XZY, ZXY, ZYX, YZX és YXZ

Ez a lista csak azoknak az elrendezéseknek az egyedi esete, amelyek megkapják a permutáció nevét.

Az egyszerű elrendezések kiszámítása

Az A halmaz egyszerű elrendezéseinek száma, amelynek nem vett elemek k A ó, a következő képlettel számolható:

A_{nem, oké} = nem!
(n - k)!

Permutáció meghatározása

Legyen A halmaz nem különálló elemek. Ön egyszerű elrendezések ezen elemek közül n-re vettük egyszerű permutációk az A. Ezért ahhoz, hogy permutációról legyen szó, szükséges, hogy a rendelés száma legyen k legyen egyenlő a számmal nem elemei A. A következő számítás eredménye:

Az egyszerű tömbökhöz használt képletet és a k = n sorszámot figyelembe véve:

Ez a képlet az A halmaz elemeinek permutációinak számításához, amelyet általában P-vel jelölünk_nem. Hamar:

Ne álljon meg most... A reklám után még több van;)

P_nem = A_{nem nem} = n!

P_nem = n!

Példa

Számítsa ki a LOVE szó betűinek permutációinak számát.

Megoldás:

Vegye figyelembe, hogy a LOVE szónak 4 külön eleme van. A szó permutációinak számításához a fenti képletet használjuk:

P_nem = n!

P₄ = 4!

P₄ = 4·3·2·1

P₄ = 24

Ezért lehetséges a LOVE szó betűinek 24 különböző permutációját kialakítani. Szó permutációkat is hívunk anagrammák.

Permutációk ismételt elemekkel

Bármely halmaznak lehetnek ismételt elemei. Nál nél permutációk ennek a halmaznak figyelembe kell vennie ezen elemek ismétlését, mert a megjelenés sorrendje nem számít, ellentétben a halmaz többi elemének sorrendjével. Ha az AMAR szóban csak a két „A” helyet változtatjuk meg, ugyanazt a szót kapjuk. Az egyforma szavak nem permutációk, ezért ezt az ismétlést ki kell vonni a permutációk képletéből.

Az elemek összes lehetséges ismétlésének levonása egyben permutáció ismételt elemekkel, a következőket kell tennünk:

Legyen A halmaz nem elemek, amelyekből k elemek megismétlik önmagukat. Az A permutációinak kiszámításához a képlet a következő:

P_nem^k = nem!
k!

Ha A beállítása, akkor a nem elemek, birtokolni k egy elem ismétlése és j egy másik ismétlését, a számítás a következőképpen történik:

P_nem^Haha =  nem!
k! · j!

Ha A halmaz, akkor nem elemek, rendelkezik k egy elem ismétlése, j egy másik ismétlése,…, m egy másik ismétlését, a képlet a következő formát ölti:

P_nem^{k, j,..., m} =  nem!
k! · j! ·... · M!

Példa

Számítsa ki az ANTONIA szó anagrammáinak számát.

Megoldás:

A példa megoldásához csak számolja ki a ismétlődő elemekkel ellátott permutációk az ANTONIA szó. Az A betűt és az N betűt is kétszer megismételjük. Néz:

P₇^2,2 =  7!
2!·2!

P₇^2,2 = 7·6·5·4·3·2·1
2·1·2·1

P₇^2,2 = 5040
4

P₇^2,2 = 1260

Luiz Paulo Moreira
Matematikából végzett