Az általa alkotott geometriai ábrákkal ellentétben a Pontszám nincs meghatározása. Ez azt jelenti, hogy a geometriában a pont egy nem definiált objektum, amelyet más objektumok definiálásához használnak. A vonalak például ponthalmazok. Bár jól néznek ki, a vonalaknak szintén nincs definíciójuk, mivel bármely két vagy több pontot tartalmazó halmaz egyenesnek tekinthető.
Másrészt az analitikai geometriában a pontot helyként veszik fel. Bármely helyet ábrázolhatunk egy ponttal, és ezen felül koordináták segítségével megadjuk az adott pont „címét”.
Az analitikai geometriában azonban a pontok csak helyeket képesek megjelölni. Más tárgyakra van szükség a pálya, irány, irány és intenzitás jelzéséhez. Ez utóbbi három esetben az objektum választott, hogy ábrázolja őket a derékszögű síkban vektor.
→ Mi az a vektor?
Vektorokezért olyan tárgyak, amelyek jelzik az irányt, az érzéket és az intenzitást. Általában nyilak képviselik őket, amelyek az origótól indulnak, és az utolsó pontjuk koordinátáit használják.
A fenti képen a vektorok ilyen módon vannak ábrázolva, vagyis olyan nyilak, amelyek koordinátái megegyeznek a végpontjukkal. Az u vektor koordinátái (2,2), a v vektor koordinátái (4,2) vannak. Ezenkívül a nyíl az irány és az irány jelzésére szolgál, a mérete pedig az intenzitásra.
→ Vektor szorzása számmal
Tekintettel a v = (a, b) vektorra, a k valós szám szorzatát v-vel a következő kifejezés adja meg:
k · v = k · (a, b) = (k · a, k · b)
Más szavakkal, ahhoz, hogy egy valós számot egy vektorral megszorozzunk, meg kell szorozni a valós számot annak koordinátáival.
Geometriai szempontból egy vektor valós számmal való szorzása lineárisan növeli a vektor méretét:
Megjegyezzük, hogy a fenti példában az u vektornak koordinátái vannak (2.2), az u · k vektornak pedig koordinátái (4.4). A (4.4) = k (2.2) egyenlet megoldásával megállapíthatjuk, hogy k = 2.
→ Vektorok hozzáadása
Két u = (a, b) és v = (c, d) vektor esetén a közöttük lévő összeget a következő kifejezéssel kapjuk meg:
u + v = (a + c, b + d)
Más szavakkal, csak adja össze az egyes vektorok megfelelő koordinátáit. Ez a művelet kiterjeszthető 3 vagy több vektor összegére, 3 vagy több dimenzióval.
Geometriai szempontból az u vektor végpontjától kezdve a v vektorral párhuzamosan v 'vektort rajzolunk. Az v vektorból kiindulva az u vektorral párhuzamosan húzzunk egy u 'vektort. Ez a négy vektor egy paralelogrammát alkot. Az u + v vektor a paralelogramma következő átlója:
A vektorok kivonásához a kivonást tekintsük az egyik vektor összegének és az ellenkezőjének. Például az v vektor kivonásához az u vektorból írja: u - v = u + (-v). A -v vektor a v vektor, de a koordinátajelekkel megfordítva.
Alaposan szemügyre véve a "vektor számmal való szorzása" és a "vektorok összeadása" műveletek használja a szorzási és összeadási műveleteket valós számokon, de a vektor. Ezért a vektorok esetében a valós számok összeadásának és szorzásának minden tulajdonsága érvényes, nevezetesen:
Tekintettel az u, v és w vektorokra, valamint a k és l valós számokra,
i) (u + v) + w = u + (v + w)
ii) u + v = v + u
iii) van egy 0 = (0.0) vektor, amely v + 0 = v
iv) Van egy -v vektor, amely v + (-v) = 0
v) k (u + v) = ku + kv
vi) (k + l) v = kv + lv
vii) kl (v) = k (lv)
viii) 1v = v
→ Egy vektor standardja
A vektor normája egyenértékű a valós szám nagyságával, vagyis a vektor és a pont közötti távolsággal (0,0), vagy a referenciakerettől függően a vektor hosszával.
A v = (a, b) vektor normáját || v || jelöli és kiszámítható a következő kifejezés segítségével:
|| v || = √ (a2 + b2)
→ Belső termék
A belső termék összehasonlítható a vektorok szorzatával. Vegye figyelembe, hogy a fent említett szorzat a vektor és a valós szám közötti szorzat. Most a kérdéses „termék” két vektor között van. Nem szabad azonban azt mondani, hogy „két vektor közötti szorzat”, hanem inkább „két vektor közötti belső szorzat”. A v = (a, b) és u = (c, d) vektorok közötti belső szorzatot ezzel jelöljük
Szokás a következő jelölést is használni:
Megjegyezzük, hogy a v = (a, b) vektor normájának felhasználásával kapcsolatba hozhatjuk a normát és a pont szorzatot.
|| v || = √ (a2 + b2) = √ (a · a + b · b) = √ (
Luiz Paulo Moreira
Matematikából végzett
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-vetores-representacoes-geometricas.htm
