A inverz függvény, amint a neve is mutatja, a f (x) függvény-1, amely pontosan megteszi az f (x) függvény inverzét. Ahhoz, hogy egy függvény támogassa az inverzet, annak meg kell lennie bijector, vagyis injektor és szurjektor egyszerre. Az inverz függvény képződési törvénye ellentétes az f (x) függvényével.
Például, ha a függvény értéket vesz fel tartomány és összeadja a 2-t, az inverz függvény összeadás helyett kivonja a 2-t. Találd meg inverz függvényképződési törvény ez nem mindig könnyű feladat, mivel szükséges az ismeretlen x és y megfordítása, valamint y elkülönítése az új egyenletben.
Olvassa el:Funkció - minden, amit tudnia kell a téma elsajátításához
Mikor támogat egy függvény inverz?
Egy szerep az megfordítható, vagyis inverz funkciója van, és csak akkor, ha van bijector. Fontos megjegyezni, hogy mi a bijector funkció, amely egy függvény injektor, vagyis a kép minden elemének egyetlen tartományi megfelelője van. Ez azt jelenti, hogy az A halmaz különböző elemeit társítani kell a B halmaz, vagyis az A halmaznak nem lehet két vagy több olyan eleme, amelynek azonos a megfelelője a B készlet
Egy szerep az surjektív ha a kép megegyezik az ellendomainnel, vagyis a B halmazban nincs olyan elem, amelyhez ne lenne társítva az A halmaz eleme.
Legyen az f: A → B függvény, ahol A tartomány és B ellendomain, az f fordított függvénye lesz az f által leírt függvény-1 : B → A, vagyis a tartomány és az ellendomain megfordul.
Példa:
Az f: A → B függvény bijektív, mivel injektív (elvégre A-ban különálló elemek társulnak különálló elemek a B) pontban, és ez szintén szurjektív, mivel a B halmazban nem maradt elem, vagyis az ellendomain megegyezik a készlet Kép.
Ezért ez a függvény megfordítható, és fordítottja:
Hogyan határozzák meg az inverz függvényképződés törvényét?
Az inverz függvényképzési törvény megtalálásához szükségünk van fordítsa meg az ismeretlent, vagyis x helyettesítése y-vel és y x-szel, majd az ismeretlen y izolálása. Ehhez fontos, hogy a függvény invertálható, azaz bijector.
→ 1. példa
Keresse meg az f (x) = x + 5 inverz függvény kialakulásának törvényét!
Felbontás:
Tudjuk, hogy f (x) = y, tehát y = x + 5. Az x és y inverzióját végrehajtva a következőket találjuk egyenlet:
x = y + 5
Most izoláljuk az y-t:
- 5 + x = y
y = x - 5
Nyilvánvaló, hogy ha f (x) hozzáadja az 5 értékét az x értékéhez, akkor annak inverz f (x) értéke - 1 megfordítja, vagyis x mínusz 5.
→ 2. példa
Tekintettel arra a függvényre, amelynek képzési törvénye f (x) = 2x - 3, mi lesz az inverze képződési törvénye?
→ 3. példa
Számítsa ki az y = 2 függvény inverzének képzési törvényét!x.
Felbontás:
y = 2x
X megváltoztatása y esetén:
x = 2y
alkalmazva logaritmus mindkét oldalon:
napló2x = log22y
napló2x = ilog22
napló2x = y · 1
napló2x = y
y = log2x
Olvassa el: Különbségek a függvény és az egyenlet között
Fordított függvénydiagram
Az inverz f függvény grafikonja -1 mindig szimmetrikus lesz az f függvény grafikonjával az y = x egyeneshez viszonyítva, ami lehetővé teszi ezek viselkedésének elemzését függvények, bár az inverz függvényképzési törvényt egyes esetekben nem tudjuk leírni, annak köszönhetően bonyolultság.
Olvassa el: Hogyan ábrázolhatunk függvényt?
Gyakorlatok megoldva
1) Ha f-1 az f fordított függvénye, amely R-től R-ig megy, amelynek formációs törvénye f (x) = 2x - 10, f számértéke -1(2) é:
1-ig
b) 3
c) 6
d) -4
e) -6
Felbontás:
→ 1. lépés: keresse meg az f fordítottját.
→ 2. lépés: cserélje le az x helyett 2-t az f-ben -1(x).
C. alternatíva
2) Legyen f: A → B olyan függvény, amelynek képzési törvénye f (x) = x² + 1, ahol A {-2, -1, 0, 1, 2} és B = {1,2,5}, helyes azt mondani, hogy:
a) a függvény invertálható, mivel bijector.
b) a függvény nem invertálható, mivel nem injektál.
c) a függvény nem invertálható, mivel nem szurjektív
d) a függvény nem invertálható, mivel se nem szurjektív, se nem injektáló.
e) a függvény nem invertálható, mivel bijector.
Felbontás:
Ahhoz, hogy a funkció megfordítható legyen, bijektívnek, azaz szurjektívnek és injekciósnak kell lennie. Először elemezzük, hogy szurjektív-e.
Ahhoz, hogy a függvény szurjektív legyen, a B minden elemének rendelkeznie kell párjával A-ban. Ennek megismeréséhez számítsuk ki mindegyik számértékét.
f (-2) = (-2) 2 +1 = 4 + 1 = 5
f (-1) = (-1) -2 +1 = 1 + 1 = 2
f (0) = 0 + 1 = 0 + 1 = 1
f (1) = 1 + 1 = 1 + 1 = 2
f (2) = 2 + 1 = 4 + 1 = 5
Vegye figyelembe, hogy a B {1,2,5} minden elemének megfelelője van A-ben, ami a függvényt alkotja surjektív.
Ahhoz, hogy ez a funkció injektálható legyen, az A-tól különböző elemeknek B-ben külön képekkel kell rendelkezniük, ami nem történik meg. Vegye figyelembe, hogy f (-2) = f (2), és azt is, hogy f (-1) = f (1), ami a függvényt alkotja ne injekciózzon. Mivel nem injektor, ezért nem is invertálható; ebből kifolyólag, alternatív b.
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-inversa.htm