A faktoring a matematikában használt folyamat, amely abból áll, hogy egy számot vagy kifejezést tényezők szorzataként ábrázolunk.
Egy olyan polinom megírásával, mint más polinomok szorzata, gyakran leegyszerűsíthetjük a kifejezést.
Nézze meg az alábbi polinomfaktorizálás típusait:
Közös tényező a bizonyításban
Akkor használjuk ezt a fajta faktorizálást, ha van olyan tényező, amely megismétli önmagát a polinom minden vonatkozásában.
Ez a számokat és betűket tartalmazó tényező a zárójelek elé kerül.
A zárójelben az lesz az eredménye, hogy a polinom minden tagját elosztjuk a közös tényezővel.
A gyakorlatban tegyük a következő lépéseket:
1º) Határozza meg, van-e olyan szám, amely elosztja a polinom és a betűk összes együtthatóját, amelyek minden kifejezésben megismétlődnek.
2º) Tegye a közös tényezőket (számokat és betűket) a zárójelek elé (bizonyítékként).
3.) A zárójelben lévő hely, ha a polinom minden tényezőjét elosztjuk a bizonyított tényezővel. A levelek esetében ugyanannak az alapnak a hatalommegosztásának szabályát alkalmazzuk.
Példák
a) Mi a 12x + 6y - 9z polinom faktorszámú alakja?
Először azonosítjuk azt a számot 3 osztja az összes együtthatót, és hogy nincs olyan betű, amely megismétlődjön.
A 3-as számot a zárójelek elé tesszük, az összes kifejezést elosztjuk hárommal, és az eredményt a zárójelek közé tesszük:
12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)
b) 2a faktor2b + 3a3c - a4.
Mivel nincs olyan szám, amely egyszerre osztaná a 2-et, a 3-at és az 1-et, ezért a zárójelek elé egyetlen számot sem teszünk.
A levél A minden kifejezéssel megismétlődik. A közös tényező az lesz A2, amely a legkisebb kitevője A kifejezésben.
A polinom minden tagját felosztjuk A2:
2.2 b: a2 = 2.2 - 2 b = 2b
33c: a2 = 33 - 2 c = 3ac
A4: a2 = a2
Tettük a A2 zárójelek előtt és a zárójelek közötti felosztás eredményei:
2.2b + 3a3c - a4 = a2 (2b + 3ac - a2)
csoportosítás
A nem létező polinomban minden szempontból megismétlődő tényező csoportosítással használhatjuk a faktorizációt.
Ehhez meg kell határoznunk a közös tényezők szerint csoportosítható kifejezéseket.
Ebben a típusú faktorizációban a csoportosítás közös tényezőit bizonyítékként tesszük fel.
Példa
Tényezzük a polinomot mx + 3nx + my + 3ny
A feltételek mx és 3nx közös tényezője a x. már a feltételek az én és 3ny legyen közös tényező a y.
Ezeknek a tényezőknek a bizonyítása:
x (m + 3n) + y (m + 3n)
Vegye figyelembe, hogy (m + 3n) most is megismétlődik mindkét kifejezésben.
Ismét bizonyítékként találva megtaláljuk a polinom alakját:
mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)
Tökéletes négyzetes háromszög
A trinomálisok 3 tagú polinomok.
A tökéletes négyzet alakú trinomálisok a2 + 2ab + b2 és a2 - 2ab + b2 az (a + b) típusú figyelemre méltó termék eredménye2 és (a - b)2.
Így a tökéletes négyzet alakú trinomiális tényező a következő lesz:
A2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (két kifejezés összegének négyzete)
A2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (két kifejezés különbségének négyzete)
Annak kiderítéséhez, hogy a trinomiális valóban tökéletes négyzet-e, a következőket tesszük:
1º) Számítsa ki a négyzetben megjelenő kifejezések négyzetgyökét!
2) Szorozzuk meg a talált értékeket 2-vel.
3.) Hasonlítsa össze a talált értéket azzal a kifejezéssel, amelynek nincsenek négyzetei. Ha egyenlőek, akkor ez egy tökéletes négyzet.
Példák
a) Faktorozzuk az x polinomot2 + 6x + 9
Először meg kell vizsgálnunk, hogy a polinom tökéletes négyzet-e.
√x2 = x és √9 = 3
2-vel szorozva azt találjuk: 2. 3. x = 6x
Mivel a talált érték megegyezik a nem négyzetes kifejezéssel, a polinom tökéletes négyzet.
Így a faktorizáció a következő lesz:
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
b) Tényezzük az x polinomot2 - 8x + 9 év2
Annak tesztelése, hogy tökéletes-e a négyzet alakú trinomiális elem:
√x2 = x és √9y2 = 3y
A szorzás elvégzése: 2. x. 3y = 6xy
A megtalált érték nem egyezik a polinom kifejezésével (8xy ≠ 6xy).
Mivel ez nem egy tökéletes négyzet alakú trinomiális elem, ezért nem használhatjuk ezt a típusú faktort.
Két négyzet különbsége
Az a típusú polinomok faktorozásához2 - B2 az összeg és a különbség figyelemre méltó szorzatát használjuk.
Így az ilyen típusú polinomok faktorizálása a következő lesz:
A2 - B2 = (a + b). (a - b)
A tényező kiszámításához ki kell számolnunk a két kifejezés négyzetgyökét.
Ezután írja meg a talált értékek összegének és ezeknek az értékeknek a különbségét.
Példa
Faktorozza a 9x binomiált2 - 25.
Először keresse meg a kifejezések négyzetgyökét:
√9x2 = 3x és √25 = 5
Írja ezeket az értékeket az összeg és a különbség szorzataként:
9x2 - 25 = (3x + 5). (3x - 5)
tökéletes kocka
a polinomok a3 + 32b + 3ab2 + b3 és a3 - 32b + 3ab2 - B3 az (a + b) típusú figyelemre méltó termék eredménye3 vagy (a - b)3.
Így a tökéletes kocka alakja a következő:
A3 + 32b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
A3 - 32b + 3ab2 - B3 = (a - b)3
Az ilyen polinomok kiszámításához ki kell számolnunk a kockához tartozó kifejezések köbgyökét.
Utána meg kell erősíteni, hogy a polinom tökéletes kocka.
Ha igen, akkor kockáztatjuk a megtalált köbgyökerek értékeinek összegét vagy kivonását.
Példák
a) Faktorozzuk az x polinomot3 + 6x2 + 12x + 8
Először számítsuk ki a kockákra írt kifejezések köbgyökét:
3√ x3 = x és 3√ 8 = 2
Ezután erősítse meg, hogy tökéletes kocka-e:
3. x2. 2 = 6x2
3. x. 22 = 12x
Mivel a talált kifejezések megegyeznek a polinomban szereplő kifejezésekkel, ez egy tökéletes kocka.
Így a faktorizáció a következő lesz:
x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
b) Tényezzük a polinomot a3 - 9.2 + 27. - 27.
Először számítsuk ki a kockákra írt kifejezések köbgyökét:
3nak nek3 = a és 3√ - 27 = - 3
Ezután erősítse meg, hogy tökéletes kocka-e:
3. A2. (-3) = - 9.2
3. A. (- 3)2 = 27.
Mivel a talált kifejezések megegyeznek a polinomban szereplő kifejezésekkel, ez egy tökéletes kocka.
Így a faktorizáció a következő lesz:
A3 - 9.2 + 27a - 27 = (a - 3)3
Olvassa el:
- Potenciálás
- Polinomok
- Polinomiális függvény
- prímszámok
Megoldott gyakorlatok
Faktorolja a következő polinomokat:
a) 33x + 22y - 55z
b) 6nx - 6ny
c) 4x - 8c + mx - 2mc
d) 49 - a2
e) 9.2 + 12. + 4
a) 11. (3x + 2y - 5z)
b) 6n. (x - y)
c) (x - 2c). (4 + m)
d) (7 + a). (7 - a)
e) (3. + 2)2
Lásd még:
- Algebrai kifejezések
- Gyakorlatok az algebrai kifejezésekről
- Nevezetes termékek
- Nevezetes termékek - gyakorlatok
