Az 1. fokú egyenlet megoldása során eredményt kapunk (ez egy olyan számérték, amely az ismeretlent az számszerű egyenlőséghez jutunk el), ezt nevezhetjük az egyenlet gyökerének, az igazsághalmaznak vagy a egyenlet. Lásd a példát:
2x - 10 = 4 ez egy 1. fokú egyenlet.
2x = 4 + 10
2x = 14
x = 14
2
S = 7
Ezért a 7 a 2x - 10 = 4 egyenlet, megoldás vagy gyökér valódi halmaza.
Ha az x (ismeretlen) -t gyökérrel helyettesítjük, akkor eléri a numerikus egyenlőséget, lásd:
2. 7 - 10 = 4
14 – 10 = 4
4 = 4 numerikus egyenlőség, azt a valódi bizonyítékot vesszük, hogy 7 az egyenlet gyökere.
Ezen az igaz halmazon keresztül azonosítjuk az egyenértékű egyenleteket, mert amikor a halmaz az egyik egyenlet igazsága megegyezik egy másik egyenlet igazsághalmazával, azt mondjuk, hogy mindkettő egyenlet egyenértékűek. Így meghatározhatunk egyenértékű egyenleteket, például:
Két vagy több egyenlet csak akkor egyenértékű, ha igazsághalmazuk egyenlő.
Lásd az egyenértékű egyenlet példáját:
Adva az 5x = 10 és x + 4 = 6 egyenleteket. Annak ellenőrzéséhez, hogy egyenértékűek-e, először meg kell találni a mindegyikre beállított igazságot.
5x = 10x + 4 = 6
x = 10: 5 x = 6 - 4
x = 2 x = 2
A két megoldás egyenlő, így azt mondhatjuk, hogy az 5x = 10 és az x + 4 = 6 egyenletek ekvivalensek.
Ha a két egyenletet nullával egyenlítenénk, így néznének ki:
5x = 10x + 4 = 6
5x - 10 = 0 x + 4 - 6 = 0
x - 2 = 0
Tehát azt mondhatjuk, hogy: 5x - 10 = x - 2 és 5x = 10 és x + 4 = 6 egyenértékű, a válaszadás két módja ugyanazt jelenti.
Hogyan juthatunk el az egyenletből az azzal egyenértékű egyenletbe? Ehhez az egyenlőség elveit kell alkalmaznunk, ezeket az elveket mind egyenértékű egyenletek megtalálásához, mind bármilyen matematikai egyenlőséghez felhasználjuk.
Az egyenlőség elvei
►Az egyenlőség additív elve.
Ez az elv azt mondja, hogy matematikai egyenlőség esetén, ha ugyanazt az értéket adjuk az egyenlet két tagjának, akkor az adott egyenlettel egyenértékű egyenletet kapunk. Lásd a példát:
Adott a 3x - 1 = 8 egyenlet. Ha hozzáadunk 5-öt egyenlőségének két tagjához, akkor:
3x - 1 + 5 = 8 + 5
3x + 4 = 13 újabb egyenlethez jutunk.
Az egyenlőség additív elve szerint a két egyenlet egyenértékű. Ha megtaláljuk a két egyenlet gyökerét, azt találjuk, hogy egyenlőek, akkor kijelentjük, mit mond ez az elv, hogy a kettő egyenértékű. Lásd a gyökerek számítását:
3x - 1 = 8 3x + 4 = 13
3x = 8 + 1 3x = 13 - 4
3x = 9 3x = 9
x = 9: 3 x = 9: 3
x = 3 x = 3
►Az egyenlőség multiplikatív elve.
Ez az elv azt mondja, hogy amikor az egyenlőség két tagját megsokszorozzuk vagy elosztjuk számot, amennyiben ez eltér a nullától, kapunk egy újabb egyenletet, amely egyenértékű lesz az egyenlettel adott. Lásd a példát:
Az x - 1 = 2 egyenlet ismeretében az egyenértékű egyenlet megtalálásának egyik módja az egyenlőség multiplikatív elvének használata. Ha ennek az egyenlőségnek a két tagját megszorozzuk 4-gyel, akkor:
4. (x - 1) = 2. 4
4x - 4 = 8 egy újabb egyenlethez jutunk, amely egyenértékű az x - 1 = 2 egyenlettel.
Azt már tudjuk, hogy egyenleteik egyenértékűek, ha gyökereik egyenlőek. Számítsuk ki tehát a gyökereket a fenti példa alapján, hogy lássuk, valóban egyenértékűek-e.
x - 1 = 2 4x - 4 = 8
x = 2 + 1 4x = 8 + 4
x = 3 4x = 12
x = 12: 4
x = 3
A gyökerek egyenlőek, ezért megerősítjük az egyenlőség multiplikatív elvét.
írta Danielle de Miranda
Matematikából végzett
Brazil iskolai csapat
Egyenlet - Math - Brazil iskola
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-1-grau-equivalentes.htm
