Polinomiális bontási tétel

Az algebra alapvető tétele a polinomegyenletek garantálja azt "minden fokú polinom n ≥ 1 legalább egy összetett gyökér van ". Ennek a tételnek a bizonyítását Friedrich Gauss matematikus készítette 1799-ben. Abból tudjuk demonstrálni a polinomiális bontási tétel, amely garantálja, hogy bármely polinom első fokú tényezőkre bontható. Vegyük a következő polinomot p (x) fokozatú n ≥ 1 és a_nem ≠ 0:

p (x) = a_nem x^nem + a_n-1 x^n-1 +… + A₁x¹ + a₀

Az algebra alapvető tételén keresztül kijelenthetjük, hogy ennek a polinomnak legalább egy komplex gyöke van. u₁, oly módon, hogy p (u₁) = 0. O D'Alembert tétel hoz a polinomok felosztása kijelenti, hogy ha p (u₁) = 0, azután p (x) osztható (x - u₁), amely hányadost eredményez mit₁(x), ami egy fokú polinom (n - 1), ami arra késztet, hogy azt mondjuk:

p (x) = (x - u₁). mit₁(x)

Ebből az egyenletből két lehetőséget kell kiemelni:

Ha u = 1 és mit₁(x) fokú polinom (n - 1), azután mit₁(x) diplomával rendelkezik 0. Mivel a domináns együttható a p (x) é A_nem, mit₁(x) állandó típusú polinom mit₁(x)=A_nem. Tehát:

p (x) = (x - u₁). mit₁(x)
(x) = (x - u₁). A_nem
p (x) = a_nem . (x - u₁)

De ha u ≥ 2, majd a polinom mit₁ diplomával rendelkezik n - 1 ≥ 1 és az algebra alapvető tétele érvényes. Mondhatjuk, hogy a polinom mit₁ legalább egy gyökere van nem₂, ami arra késztet minket, hogy ezt mondjuk mit₁ a következőképpen írható:

mit₁(x) = (x - u₂). mit₂(x)

De hogyan p (x) = (x - u₁). mit₁(x), átírhatjuk így:

p (x) = (x - u₁). (x - u₂). mit₂(x)

Ha ezt a folyamatot megismételjük, akkor:

p (x) = a_nem. (x - u₁). (x - u₂)… (X - u_nem)

Így arra következtethetünk, hogy minden polinom vagy polinom egyenlet p (x) = 0 fokozatú n ≥ 1 saját pontosan nem összetett gyökerek.​

Példa: Lenni p (x) fokú polinom 5, olyan, hogy a gyökerei – 1, 2, 3, – 2 és 4. Írja ezt a polinomot 1. fokú tényezőkre bontva, figyelembe véve a domináns együttható egyenlő 1. Kiterjesztett formában kell megírni:

ha – 1, 2, 3, – 2 és 4 a polinom gyökerei, tehát a különbségek szorzata x mert e gyökerek mindegyike azt eredményezi p (x):

p (x) = a_nem. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)

Ha a domináns együttható A_nem = 1, nekünk van:

p (x) = 1. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x² - x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x³ - 4x² + x + 6). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x⁴ - 2x³ - 7x² + 8x + 12). (X - 4)
p (x) = x⁵ - 6x⁴ + x³ + 36x² - 20x - 48

Írta: Amanda Gonçalves
Matematikából végzett

Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm