A egyszerű kombináció az egyik tanulmányozott csoportosulás kombinatorikus elemzés. Kombinációként ismerjük a számot összes részhalmaza k elemek, amelyeket halmazból alkothatunk nem elemek.
Elég gyakran látni olyan helyzeteket, amikor például a kombinációt használjuk az összes eredmény kiszámításához lehetséges lottójátékokban vagy pókerjátékokban, és más helyzetekben, például a valószínűség és a statisztikai.
Egy másik nagyon gyakori csoportosítás az elrendezés. Ami megkülönbözteti az elrendezést a kombinációtól, az a tény, hogy elrendezésben az elemek sorrendje fontos, kombinációban pedig nem a sorrend. Ezért összehasonlítjuk a kombinációt a részhalmazok megválasztásával.
Olvassa el: A számlálás alapelve - a lehetőségek számszerűsítésére szolgál
Mi az egyszerű kombináció?
A kombinatorikus elemzésben a lehetséges klaszterek számát vizsgálják. Ezen csoportosulások között van egy úgynevezett egyszerű kombináció. Az egyszerű kombináció nem más, mint a az összes részhalmaz száma a k adott halmaz elemei
például: a megassena, amelyben véletlenszerűen 6 számot rajzolnak.Ebben az esetben láthatja, hogy a 6 szám kiválasztásának sorrendje nincs különbség, vagyis a sorrend nem számít, ami ezt az eredményt részhalmazsá teszi. Ez a jellemző alapvető annak megértéséhez, hogy mi a kombináció, és megkülönböztetni a többi csoportosítástól - a kombinációban a halmaz elemeinek sorrendje nem számít.
egyszerű kombinációs képlet
A kombinációval járó problémákat egy képlet számítja ki. kombinációja nem -ból vett elemek k ban ben k é:
n → összes elem a halmazban
k → összes elem az alkészletben
Lásd még: Az additív számlálás elve - két vagy több halmaz elemeinek egyesítése
Hogyan lehet kiszámítani a kombinációt?
Elsősorban, fontos tudni, hogy a probléma mikor kombináció. Illusztrációként keresse meg a készlet {A, B, C, D} két elemmel:
Két elemből álló kombinációkat felsorolva: {A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D} és {C, D}. Ebben az esetben látható, hogy 6 lehetséges kombináció létezik, és azt is érdemes megjegyezni, hogy az {A, B} és a {B, A} részhalmaz egyenlő, mivel a kombinációban a sorrend nem fontos .
Kiderült, hogy nem mindig lehetséges felsorolni az összes lehetséges kombinációt, vagy nem is szükséges, mint a legnagyobb az érdeklődés a kombinációk száma iránt és nem mindegyikük felsorolásában. Ehhez nagyon praktikus a képlet használata.
Példa:
Egy iskola három jegyet sorsol, minden tanulónak egyet, a matematikaolimpia legjobb 10 között. A teszt kitöltése és az első 10 helyezett ismerete után számolja ki a döntetlen eredmény lehetséges kombinációit.
Vegye figyelembe, hogy a sorsolás eredményében a sorrend nem fontos, ezért kombinációs problémával dolgozunk.
Ezután kiszámoljuk a 3 elemből 3-ból vett 10 elem kombinációját. A képletben helyettesítenünk kell:
Most végezzük el a tényezők egyszerűsítését. Ezen a ponton elengedhetetlen a faktoriális egy szám. Mint 10! nagyobb, mint a nevező bármely tényezője, és a nevezőt tekintve 7! a legnagyobb közülük, végezzük el az elődök 10-es szorzatát, amíg el nem érjük a 7-et!, hogy egyszerűsödni lehessen.
Pascal háromszöge
Az egyik olyan eszköz, amelyet széles körben használnak a kombinatorikus elemzésben, főként a Newton binomiálja, Pascal háromszöge. Ez a háromszög az a kombinációk eredményeiből építve, a két szám kombinációjának egy másik módja a következő:
Pascal háromszöge a 0. és a 0. oszlopnál kezdődik, 0 elemet 0-tól 0-ig vegyítve. A vonalak megegyeznek nem, és az oszlopok egyenlőek k, a következő ábrát alkotva:
A kombinációkból származó értékek behelyettesítése:
Pascal háromszögének sorain és oszlopain keresztül megtalálhatjuk a kívánt kombináció értékét. Szükség esetén megtalálhatjuk annyi sor feltételeit, amennyire szükség van. Ha többet szeretne megtudni erről a felbontási módszerről, olvassa el a szöveget: Pascal háromszöge.
Eltérés az elrendezés és a kombináció között
Az elrendezés és a kombináció két ugyanolyan fontos csoportosítás, amelyet a kombinatorikus elemzés során tanulmányoztak. Elengedhetetlen tudni, hogy mi a különbség e csoportok között, vagyis ha a-val számoljuk őket elrendezés vagy egy kombináció.
Kiderült, hogy a kombináció, a klaszterek összeállításakor, a halmaz elemeinek sorrendje nem fontos., azaz {A, B} = {B, A}, de vannak esetek, amikor a sorrend fontos a csoportosításban, ebben az esetben tömbdel dolgozunk.
A elrendezés, azután, az elemek sorrendje más, azaz {A, B} ≠ {B, A}, egy nagyon elterjedt elrendezés példája az lenne, ha kiszámoljuk, hányféle módon tudjuk kialakítani az adott verseny dobogós helyét 10 ember között. Vegye figyelembe, hogy ebben a példában a sorrend fontos, ami az elrendezési képlettel megoldhatóvá teszi. Az elméleti meghatározás mellett a képletek különbözőek, és a elrendezési képlet é:
megoldott gyakorlatok
1. kérdés - (Enem) Tizenkét csapat nevezett be egy amatőr focitornára. A bajnokság nyitójátékát a következőképpen választották meg: először 4 csapatot sorsoltak ki az A csoport alkotására. Ezután az A csoport csapatai között 2 csapatot sorsoltak ki, hogy játsszák a torna nyitójátékát, amelyek közül az első a saját mezőnyükben játszik, a második pedig a vendégcsapat lesz. Az A csoport lehetséges válogatásainak teljes számát és a csapatok összes nyitásmérkőzésének számát a nyitómeccsen lehet kiszámítani
A) kombináció, illetve elrendezés.
B) egy elrendezés és egy kombináció.
C) elrendezés, illetve permutáció.
D) két kombináció.
E) két elrendezés.
Felbontás
A alternatíva
Az elrendezés és a kombináció megkülönböztetéséhez elemezni kell, hogy a sorrend számít-e a csoportosításban vagy sem. Ne feledje, hogy az első csoportosításban a sorrend nem releváns, mivel az A csoportot a sorrendtől függetlenül sorsolt 4 csapat alkotja, vagyis először van egy kombináció.
A második csoportosítást elemezve látható, hogy a sorrend számít benne, mivel az elsőként kisorsolt csapatnak meg kell adnia a mező parancsot, ami elrendezi ezt a csoportosítást.
Ily módon a sorrend kombináció és elrendezés.
2. kérdés - A 7 felnőttből álló család, miután eldöntötte az utazás útvonalát, meglátogatta a légitársaság weboldalát, és megállapította, hogy a választott dátumra tartó járat majdnem megtelt. A weboldalon elérhető ábrán az elfoglalt ülések X-szel vannak jelölve, és az egyetlen rendelkezésre álló hely fehér színű.
A családnak ezen a járaton való elhelyezésének különböző módjainak számát az alábbiak határozzák meg:
Felbontás
B. alternatíva A helyzet elemzése során vegye figyelembe, hogy a sorrend, vagyis hogy melyik családtag melyik székben fog ülni, nem releváns. Fontos a család által választott 7 fotel. Tehát kombinációval dolgozunk. 9 szabad hely van, és 7-et választanak. tehát számoljuk ki a kombinációt 9-től 7-ig. A képletben helyettesítenünk kell:
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/combinacao-simples.htm