Mátrixszorzás: hogyan kell kiszámolni, példák

A mmátrix szorzás nagy figyelmet igénylő algoritmuson keresztül történik. Az A és B mátrix közötti szorzat létezéséhez szükséges, hogy a oszlopok ad első központ, Amennyiben A, megegyezik a vonalak ad hétfő központ, B. esetben

A mátrixok szorzatából meg lehet érteni, mi az identitásmátrix, melyik az a mátrixszorzás semleges eleme, és mi az M mátrix inverz mátrixa, amely az M mátrix^-1 amelynek M szorzata M által^-1 egyenlő az identitásmátrixszal. Az is lehetséges, hogy egy mátrixot megszorozzunk valós számmal - ebben az esetben megszorozzuk a központ szám szerint.

Olvassa el: Mi a háromszög alakú mátrix?

a lét feltétele

A mátrixok közötti szorzás nagy figyelmet igénylő folyamat.

Két mátrix szorzásához először ellenőrizni kell a létfeltételt. A termék létezéséhez az első mátrix oszlopainak számának meg kell egyeznie a második mátrix sorainak számával. Ezenkívül a szorzás eredménye egy olyan mátrix, amelynek ugyanannyi sora van, mint az első mátrixnak, és ugyanannyi oszlopa, mint a második mátrixnak.

Például az A szorzat az A mátrixok között_3x2 és B_2x5 azért létezik, mert az A oszlopainak száma (2 oszlop) megegyezik a B sorainak számával (2 sor), és az eredmény az AB mátrix_3x5. C-mátrixok között már termék_3x5 és a D mátrix_2x5 nem létezik, mivel C-nek 5 oszlopa és D-nek 3 sora van.

Hogyan lehet kiszámítani a szorzatot két mátrix között?

A mátrix szorzás elvégzéséhez néhány lépést meg kell követni. Példát fogunk hozni egy algebrai A mátrix szorzására_2x3 a B mátrix által_3x2

Tudjuk, hogy a termék létezik, mert az A mátrixnak 3 oszlopa van, a B mátrixnak pedig 3 sora. C-nek hívjuk az A · B szorzás eredményét. Ezenkívül azt is tudjuk, hogy az eredmény egy C mátrix._2x2, mert az A mátrixnak 2 sora van, a B mátrixnak pedig 2 oszlopa.

Az A mátrix szorzatának kiszámításához_2x3 és a B mátrix_3x2, kövessünk néhány lépést.

Először megtaláljuk a C mátrix egyes feltételeit_2x2:

A kifejezések megtalálásához nézzük mindig kapcsolja az A mátrix sorait a B mátrix oszlopaihoz:

ç₁₁ → A 1. sora és B oszlopa
ç₁₂ → A 1. sora és B 2. oszlopa
ç₂₁ → A 2. sora és B oszlopa
ç₂₂ → A 2. sora és B 2. oszlopa

Kiszámítjuk az egyes feltételeket úgy, hogy megszorozzuk az A sorban szereplő kifejezéseket és a B oszlopában szereplő feltételeket. Most hozzá kell adnunk ezeket a termékeket, kezdve ç_11:

A 1. sora
B oszlopa

ç₁₁ = A₁₁· B₁₁ + A₁₂· B₂₁+ A₁₃· B₃₁

számító ç₁₂:

A 1. sora
B 2. oszlopa

ç₁₂ = A₁₁· B₁₂ + A₁₂· B₂₂+A₁₃· B₃₂

számító ç₂₁:

A 2. sora
B oszlopa

ç₂₁ = A₂₁· B₁₁ + A₂₂· B₂₁+A₂₃· B₃₁

a kifejezés kiszámítása ç₂₂:

A 2. sora
B 2. oszlopa

ç₂₂ = A₂₁· B₁₂ + A₂₂· B₂₂+A₂₃· B₃₂

Így a C mátrixot a következő kifejezések alkotják:

Példa:

Számítsuk ki az A és B mátrixok szorzását

Tudjuk, hogy A-ban_2x2 és B_2x3, az első oszlopainak száma megegyezik a második sorainak számával, tehát a szorzat létezik. Tehát megkapjuk a C = A · B értéket, és tudjuk, hogy C_2x3.

Megsokszorozva:

Lásd még: Mi az a transzponált mátrix?

identitásmátrix

A mátrixok szorzásában van néhány speciális eset, például az azonossági mátrix, amely a mátrixok közötti szorzás semleges eleme.. Az identitásmátrix négyzetmátrix, vagyis a sorok száma mindig megegyezik az oszlopok számával. Továbbá csak az átló tagjai egyenlőek 1-vel benne, a többi tagok pedig mind nulla. Amikor egy M mátrixot megszorzunk az I azonossági mátrixszal_nem, Nekünk kell:

M · I_nem = M

Azonosító mátrixok a 2. sorrendtől az 5. sorrendig

Példa:

Mi az inverz mátrix?

Adva egy M mátrixot, M inverz mátrixaként ismerjük. az M mátrix^-1amelynek terméke M · M^-1 egyenlő à identitásmátrix I_nem. Ahhoz, hogy egy mátrix inverz legyen, négyzetnek kell lennie, és annak döntő különböznie kell a 0-tól. Nézzünk meg inverz mátrixokat:

Az A · B szorzat kiszámításakor:

Vegye figyelembe, hogy a szorzat A és B között generált I. mátrix₂. Amikor ez megtörténik, azt mondjuk, hogy B az A fordított mátrixa. Ha többet szeretne megtudni az ilyen típusú mátrixról, olvassa el: Fordított mátrix.

Mátrix szorzata valós számmal

A mátrixok közötti szorzással ellentétben létezik mátrixszorzás is eggyel valós szám, ami sokkal egyszerűbb művelet a megoldás megtalálására.

Adott egy M mátrix, megszorozva a mátrixot valós számmal k egyenlő a mátrixszal kM. Megtalálni ezt a mátrixot kM, elég szorozza meg a mátrix összes tagját az állandóval k.

Példa:

ha k = 5 és az alábbi M mátrixot figyelembe véve keresse meg az 5M mátrixot.

Szorzás:

Gyakorlatok megoldva

1. kérdés - (Unitau) Adott A és B mátrixok,

a c elem értéke₁₁ a C = AB mátrix értéke:

A) 10.

B) 28.

C) 38.

D) 18.

E) 8.

Felbontás

A. alternatíva

Hogyan akarjuk a c kifejezést₁₁, szorozzuk meg az első sor és az A kifejezéseket a B első oszlopában szereplő feltételekkel

kiszámítva c₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

2. kérdés - (Enem 2012) Egy tanuló néhány tantárgy kéthavonta kapott osztályzatát táblázatba foglalta. Megjegyezte, hogy a táblázat numerikus bejegyzései 4 × 4 mátrixot képeznek, és hogy a mátrixok szorzatával kiszámíthatja ezeknek a tudományágaknak az éves átlagát. Az összes tesztnek azonos súlya volt, és az általa kapott táblázatot az alábbiakban mutatjuk be.

Ezen átlagok megszerzéséhez a táblázatból kapott mátrixot megszorozta a mátrixszal:

Felbontás

E. alternatíva

Az átlag nem más, mint az elemek összege elosztva az elemek számával. Ne feledje, hogy soronként 4 hang van, tehát az átlag a jegyzetek összege elosztva 4-gyel. A 4-gyel való osztás megegyezik a szorzásával töredék ¼. Emellett az évfolyamok mátrixa 4x4 mátrix, tehát meg kell szorozni egy 4x1 mátrixszal, vagyis 4 sorral és 1 oszloppal kell rendelkeznünk ahhoz, hogy megtaláljuk azt a mátrixot, amely az évfolyamok átlagával rendelkezik.

Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár

Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm