Inverz mátrix: mi ez, hogyan lehet megtalálni a gyakorlatokat

A koncepció inverz mátrix nagyon közel kerül a szám inverz fogalmához. Emlékezzünk arra, hogy egy szám inverze nem a szám nem^-1, ahol a kettő szorzata megegyezik a szorzás, vagyis az 1. szám. Már az M mátrix inverze az M mátrix^-1, ahol az M · M szorzat^-1egyenlő az I. azonossági mátrixszal_nem,ami nem más, mint a mátrixszorzás semleges eleme.

Ahhoz, hogy a mátrix inverz legyen, négyzetnek kell lennie, és ezen felül a determinánsának különböznie kell a nullától, különben nem lesz inverz. Az inverz mátrix megtalálásához a mátrixegyenletet használjuk.

Olvasd el te is: Háromszög mátrix - a négyzetmátrix speciális típusa

Ahhoz, hogy egy mátrix inverz legyen, négyzetnek kell lennie.

identitásmátrix

Ahhoz, hogy megértsük, mi az inverz mátrix, először ismerni kell az identitásmátrixot. Identitásmátrixként ismerjük az I négyzetmátrixot_nem ahol a főátló minden eleme egyenlő 1-vel, a többi tag pedig 0-val.

A az identitásmátrix a mátrixok közötti szorzás semleges eleme., vagyis adott a központ N rendű M, az M és az I mátrix közötti szorzat_nem egyenlő az M mátrixszal.

instagram story viewer

M · I_nem = M

Az inverz mátrix kiszámítása

Az M inverz mátrixának megtalálásához meg kell oldani egy mátrixegyenletet:

M · M^-1 = I_nem

Példa

Keresse meg az M. inverz mátrixát

Mivel nem ismerjük az inverz mátrixot, ábrázoljuk ezt a mátrixot algebrai szempontból:

Tudjuk, hogy az ezen mátrixok közötti szorzatnak meg kell egyeznie az I értékkel₂:

Most oldjuk meg a mátrixegyenletet:

Lehetőség van a probléma kettéválasztására rendszerek egyenletek. Az első az M · M mátrix első oszlopát használja^-1 és az identitásmátrix első oszlopa. Tehát:

A rendszer megoldásához különítsük el a₂₁ a II egyenletben, és helyettesítse az I. egyenletben

Az I. egyenletben helyettesítve:

Hogyan találjuk meg az a értékét₁₁, akkor megtaláljuk az a értékét₂₁:

Az a értékének ismerete₂₁ és a₁₁, most a második rendszer beállításával megtaláljuk a többi kifejezés értékét:

elkülönítve a₂₂ a III. egyenletben:

3₁₂ + 1₂₂= 0

A₂₂ = - 3₁₂

Helyettesítés a IV egyenletben:

5₁₂ + 2₂₂=1

5₁₂ + 2 · (- 3₁₂) = 1

5₁₂ - 6.₁₂ = 1

- a₁₂ = 1 ( – 1)

A₁₂ = – 1

Az a értékének ismerete₁₂, meg fogjuk találni az a értékét₂₂:

A₂₂ = - 3₁₂

A₂₂ = – 3 · ( – 1)

A₂₂ = 3

Most, hogy ismerjük az M mátrix összes feltételét^-1, lehetséges képviselni:

Olvassa el: Mátrixok összeadása és kivonása

Inverz mátrix tulajdonságok

Vannak olyan tulajdonságok, amelyek egy inverz mátrix definiálásából származnak.

1. ingatlan: az M mátrix inverze^-1 egyenlő az M mátrixszal. Az inverz mátrix inverze mindig maga a mátrix, vagyis (M^-1)^-1 = M, mert tudjuk, hogy M^-1 · M = I_nem, ezért M^-1 M inverz, és M is M inverze^-1.
2. ingatlan: az identitásmátrix inverze maga: I^-1 = I, mert az identitásmátrix szorzata önmagában az identitásmátrixot eredményezi, vagyis I_nem · I_nem = I_nem.
3. ingatlan: a fordítottja két mátrix szorzatate egyenlő az inverzek szorzatával:

(M × H)^-1 = M^-1· A^-1.

4. ingatlan: egy négyzetmátrix akkor és csak akkor inverz, ha annak döntő eltér 0-tól, vagyis det (M) ≠ 0.

Gyakorlatok megoldva

1) Adott A és B mátrix, tudva, hogy inverzek, akkor x + y értéke:

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

Felbontás:

D. Alternatíva

Az egyenlet felépítése:

A · B = I

A második oszlopban, amely megegyezik a feltételekkel, meg kell:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

X izolálása I-be:

Helyettesítés egyenlet II, meg kell tennünk:

Y értékének ismeretében meg fogjuk találni x értékét:

Most számítsuk ki az x + y értéket:

2. kérdés

Egy mátrixnak csak akkor van inverzje, ha determinánsa eltér a 0-tól. Az alábbi mátrixot nézve, melyek azok az x értékek, amelyek miatt a mátrix nem támogatja az inverzeket?