Mátrix: mi ez, típusok, műveletek, példák

A központ általában táblázatos adatok rendezésére használják a problémamegoldás megkönnyítése érdekében. A mátrixinformációk, akár numerikusak, akár nem, rendezetten vannak elrendezve sorokban és oszlopokban.

A műveletekkel felszerelt mátrixkészlet kiegészítés, kivonás és szorzás és a jellemzők semleges és inverz elemként olyan matematikai struktúrát alkotnak, amely lehetővé teszi annak alkalmazását a különböző területeken ennek a nagy tudásterületnek.

Lásd még: A mátrix és a lineáris rendszerek kapcsolata

Mátrixábrázolás

A mátrixok vizsgálatának megkezdése előtt meg kell határozni néhány jelölést a reprezentációjukra vonatkozóan. Nál nél a mátrixokat mindig nagybetűvel ábrázolják. (A, B, C…), amelyeket indexek kísérnek, amelyekben a az első szám a sorok számát, a második pedig az oszlopok számát jelöli.

A sorok száma (vízszintes sorok) és oszlopok (függőleges sorok) mátrix határozza meg rendelés. Az A mátrixnak m értéke n sorrendű. A tömbben található információkat hívjuk meg elemek és zárójelben, szögletes zárójelben vagy két függőleges sávban vannak elrendezve, lásd a példákat:

Az A mátrixnak két sora és három oszlopa van, így annak sorrendje kettő háromszor → A_2x3.

A B mátrixnak egy sora és négy oszlopa van, tehát sorrendje egyenként, tehát hívják vonal mátrix → B_1x4.

A C mátrixnak három sora és egy oszlopa van, ezért hívják oszlopmátrix sorrendje három egyenként → C_3x1.

Egy tömb elemeit általában ábrázolhatjuk, vagyis ezt az elemet matematikai ábrázolással is megírhatjuk. Oaz általános elem kisbetűkkel lesz ábrázolva (a, b, c…), és mint a tömbök ábrázolásában, itt is van egy index, amely jelzi a helyét. Az első szám azt a sort jelöli, amelyben az elem található, a második pedig azt az oszlopot jelöli, amelyben az elem található.

Tekintsük a következő A mátrixot, felsoroljuk az elemeit.

Megfigyelve az első elemet, amely az első sorban és az első oszlopban található, vagyis az első és az első oszlopban van a 4-es szám. Az írás megkönnyítése érdekében a következőkkel jelöljük:

A₁₁ → egy sor vonala, egy oszlop

Tehát az A mátrix következő elemei vannak_2x3:

A₁₁ = 4

A₁₂ =16

A₁₃ = 25

A₂₁ = 81

A₂₂ = 100

A₂₃ = 9

Általában egy tömböt írhatunk általános elemei függvényében, ez az általános mátrix.

Az m sor és n oszlop mátrixát a következő ábrázolja:

• Példa

Határozza meg az A = [a_ij ]_2x2, amelynek a következő képzési törvénye van_ij = j² - 2i. Az utasítás adataiból kiderül, hogy az A mátrix kettő-kettő rendű, vagyis két sora és két oszlopa van, ezért:

Ezenkívül megadták a mátrixképződési törvényt, vagyis mindegyik elem elégedett a_ij = j² - 2i. Helyettesítve az i és j értékeket a képletben, megkapjuk:

A₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

A₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

A₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

A₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

Ezért az A mátrix:

Tömbtípusok

Egyes mátrixok külön figyelmet érdemelnek, lásd most ezeket típusú tömbök példákkal.

• négyzetmátrix

A mátrix négyzet, ha a a sorok száma megegyezik az oszlopok számával. N sorral és n oszloppal rendelkező mátrixot ábrázoljuk A-val_nem (így hangzik: az n sorrend négyzetmátrixa).

A négyzetmátrixokban két nagyon fontos elemünk van, a átló: fő és másodlagos. A főátlót olyan elemek alkotják, amelyek egyenlő indexűek, vagyis minden elem a_ij i = j-vel. A másodlagos átlót az a elemek alkotják_ij ahol i + j = n +1, ahol n jelentése mátrix sorrend.

• identitásmátrix

Az identitásmátrix egy négyzetmátrix, amelynek van mindenÖna főátló 1-nek megfelelő elemei és a 0-val egyenlő egyéb elemek, kialakulási törvénye:

Ezt a mátrixot I-vel jelöljük, ahol n a négyzetmátrix sorrendje, lásd néhány példát:

• egységmátrix

Ez egy első rendű négyzetmátrix, vagyis van egy sora és egy oszlopa, ezért csak egy elem.

A = [-1]_1x1, B = I₁ = (1)_1x1 és C = || 5 ||_1x1

Ezek példák az egységmátrixokra, különös tekintettel a B mátrixra, amely a egységazonosság-mátrix.

• null mátrix

Egy tömb nullának mondható, ha minden eleme egyenlő nullával. Az m nagyságrendű n mátrixot n-vel képviseljük O-val_mxn.

Az O mátrix nulla a 4. sorrendben.

• ellentétes mátrix

Tekintsünk két egyenrangú mátrixot: A = [a_ij]_mxn és B = [b_ij]_mxn. Ezeket a mátrixokat akkor nevezzük ellentétesnek, és csak akkor, ha a_ij = -b_ij. Így, a megfelelő elemeknek meg kell lenniük ellentétes számok.

Képviselhetjük a B = -A mátrixot.

• transzponált mátrix

Két mátrix A = [a_ij]_mxn és B = [b_ij]_nxm ők átültették akkor és csak akkor, ha_ij = b_ji , vagyis ha kapunk egy A mátrixot, annak megtalálásához csak oszlopként vegye a vonalakat.

Az A mátrix transzpozícióját A-val jelöljük^T. Lásd a példát:

Többet látni: Inverz mátrix: mi ez és hogyan ellenőrizhető

Mátrix műveletek

N x m mátrix általános ábrázolása.

A mátrixok halmazának műveletei anagyon jól meghatározott összeadás és szorzás, vagyis amikor két vagy több mátrixot működtetünk, a művelet eredménye továbbra is a mátrixok halmazához tartozik. Mi a helyzet azonban a kivonási művelettel? Ezt a műveletet úgy értjük, mint az összeadás inverzét (ellentétes mátrix), ami szintén nagyon jól definiált.

A műveletek meghatározása előtt értsük meg az ötleteket megfelelő elem és a mátrixok egyenlősége. A megfelelő elemek azok, amelyek a különböző mátrixokban ugyanazt a pozíciót foglalják el, vagyis ugyanazon a soron és oszlopon helyezkednek el. A tömböknek nyilvánvalóan ugyanabban a sorrendben kell lenniük, hogy a megfelelő elemek létezzenek. Néz:

A 14. és -14. Elem az ellentétes A és B mátrix megfelelő elemei, mivel ugyanazt a pozíciót foglalják el (ugyanaz a sor és oszlop).

Két mátrixot akkor és akkor mondunk egyenlőnek, ha a megfelelő elemek egyenlőek. Így, ha az A = [a_ij]_mxn és B = [b_ij]_mxn, ezek akkor és csak akkor lesznek ugyanazok_ij = b_ij bármilyen i j.

• Példa

Tudva, hogy az A és B mátrix egyenlő, határozza meg x és t értékét.

Mivel az A és B mátrix egyenlő, akkor a megfelelő elemeknek egyenlőeknek kell lenniük, ezért:

x = -1 és t = 1

• Mátrixok összeadása és kivonása

A műveletek összeadás és kivonás a mátrixok között meglehetősen intuitívak, de először egy feltételnek teljesülnie kell. E műveletek végrehajtásához először ellenőrizni kell, hogy a tömb megrendelések egyenlőek.

Miután ezt a feltételt igazoltuk, a mátrix összeadása és kivonása a mátrixok megfelelő elemeinek összeadásával vagy kivonásával történik. Tekintsük az A = [a_ij]_mxn és B = [b_ij]_mxn, azután:

A + B = [a_ij + b_ij] _mxn

A - B = [a_ij - B_ij] _mxn

• Példa

Tekintsük az alábbi A és B mátrixokat, határozzuk meg az A + B és A - B értékeket.

Olvasd el te is: Egész szám műveletek

• Valós szám szorzata mátrixszal

A mátrix valós számának (más néven mátrixszorzásának) skalárral való szorzását a mátrix egyes elemeinek a skalárral való szorzásával adjuk meg.

Legyen A = [a_ij]_mxn egy mátrix és t valós szám, tehát:

t · A = [t · a_ij]_mxn

Lásd a példát:

• Mátrix szorzás

A mátrixok szorzása nem annyira triviális, mint összeadásuk és kivonásuk. A szorzás végrehajtása előtt a mátrixok sorrendjét illetően is teljesülnie kell egy feltételnek. Tekintsük az A mátrixokat_mxn és B_nxr.

A szorzás elvégzéséhez a Az első mátrix oszlopainak számának meg kell egyeznie a második sorainak számával. A szorzatból származó szorzatmátrix sorrendjét az első sorainak száma, a második oszlopainak számával adjuk meg.

Az A és B mátrixok szorzásának elvégzéséhez az összes sort meg kell szorozni az összes oszloppal az alábbiak szerint: az első elem A-t megszorozzuk B első elemével, majd hozzáadjuk A második eleméhez, és megszorozzuk B második elemével, és így egymás után. Lásd a példát:

Olvasd el te is: Laplace-tétel: tudja, hogyan és mikor kell használni

megoldott gyakorlatok

1. kérdés - (U. ÉS. Londrina - PR) Legyen az A és B mátrix 3, 4 és p x q, és ha az A · B mátrix 3 x 5 sorrendű, akkor igaz, hogy:

a) p = 5 és q = 5

b) p = 4 és q = 5

c) p = 3 és q = 5

d) p = 3 és q = 4

e) p = 3 és q = 3

Megoldás

Megállapítottuk, hogy:

A_3x4 · B_pxq = C_3x5

A két mátrix szorzására vonatkozó feltételből megállapíthatjuk, hogy a szorzat csak akkor létezik, ha az első oszlopainak száma megegyezik a második sorainak számával, tehát p = 4. És azt is tudjuk, hogy a szorzatmátrixot az első sorainak száma adja meg a második oszlopainak számával, tehát q = 5.

Ezért p = 4 és q = 5.

V: Alternatíva b

2. kérdés - (Vunesp) Határozza meg x, y és z értékeit a következő egyenlőségen, 2 x 2 valós mátrix bevonásával.

Megoldás

Végezzük el a tömbök közötti műveleteket, majd a közöttük lévő egyenlőséget.

Az x, y és z értékének meghatározásához megoldjuk a lineáris rendszert. Kezdetben adjuk hozzá az (1) és (2) egyenleteket.

2x - 4 = 0

2x = 4

x = 2

Helyettesítve a (3) egyenletben található x értékét, a következőket kapjuk:

2² = 2z

2z = 4

z = 2

Végül az (1) vagy (2) egyenletben található x és z értékek helyettesítésével:

x + y - z = 0

2 + y - 2 = 0

y = 0

Ezért a feladat megoldását S = {(2, 0, 2)} adja meg.

írta Robson Luiz
Matematikatanár