A fogalmak többszörösét és elválasztók természetes szám kiterjed a halmazra egész számok. A szorzók és osztók témakörével foglalkozunk numerikus halmazok amelyek kielégítenek bizonyos feltételeket. A többszöröseket egész számokkal való szorzás után találjuk meg, az osztók pedig egy bizonyos számmal osztható számok.
Emiatt meg fogjuk találni az egészek részhalmazait, mivel a sokszorosok és az osztók halmazának elemei az egészek halmazának elemei. A prímszámok megértéséhez meg kell érteni az osztók fogalmát.
egy szám többszöröse
lenni A és B két ismert egész szám, a szám A többszöröse B akkor és csak akkor, ha van egész szám k oly módon, hogy A = B · K. Így a többszörös halmaza ban ben Aszorzással nyerjükAminden egész számra, ezek eredményei szorzások a többszöröse A.
Például soroljuk fel a 2 első 12 szorzatát. Ehhez meg kell szorozni a 2. számot az első 12 egész számmal, így:
2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
Ezért a 2 többszöröse:
M (2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Ne feledje, hogy csak az első 12 számot soroltuk fel, de annyit is felsorolhatnánk, amennyi szükséges, mivel a többszörösek listáját úgy adjuk meg, hogy egy számot megszorzunk az összes egész számmal. Így, a sokszorosok halmaza végtelen.
Annak ellenőrzéséhez, hogy egy szám többszöröse-e a számnak, meg kell találnunk egy egész számot, hogy a közöttük való szorzás az első számot eredményezze. Lásd a példákat:
→ A 49-es szám többszöröse 7-nek, mert van egy egész szám, amely 7-gyel megszorozva 49-et eredményez.
49 = 7 · 7
→ A 324 szám 3-szorosa, mivel van egy egész szám, amely szorozva 3-mal 324-et eredményez.
324 = 3 · 108
→ Az 523. szám nem a 2 többszöröse, mert nincs egész szám ami 2-gyel megszorozva 523-at eredményez.
523 = 2 · ?
Olvassa el: A szorzás tulajdonságai, amelyek megkönnyítik a mentális számítást
4 többszörösei
Mint láttuk, a 4-es szám többszörösének meghatározásához egész számokkal kell megszorozni a 4-es számot. Így:
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
...
Ezért a 4 szorzata a következő:
M (4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
5 többszörösei
Hasonlóképpen az 5-ös szorzataink vannak.
5 · 1 = 5
5 · 2 = 5
5 · 3 = 15
5 · 4 = 20
5 · 5 = 25
5 · 6 = 30
5 · 7 = 35
...
Ezért az 5 többszörösei: M (5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45,…}
egy szám elválasztó
lenni A és B két ismert egész szám, mondjuk B osztója A ha a szám B többszöröse A, ez a osztály közte B és A pontos (el kell hagynia pihenés 0).
Néhány példa:
→ 22 a 2 többszöröse, tehát 2 a 22 osztója.
→ 63 a 3 többszöröse, tehát 3 a 63 osztója.
→ A 121 nem a 10 szorzata, tehát a 10 nem a 121 osztója.
Egy szám osztóinak felsorolásához meg kell keresnünk azokat a számokat, amelyek felosztják. Néz:
- Sorolja fel a 2, 3 és 20 elválasztóit!
D (2) = {1, 2}
D (3) = {1,3}
D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Vegye figyelembe, hogy az osztók listájában szereplő számok mindig oszthatók a kérdéses számmal és azzal a listában megjelenő legmagasabb érték maga a szám., mivel a nála nagyobb szám nem osztható meg vele.
Például a 30-as osztókban a lista legnagyobb értéke maga a 30, mivel egyetlen 30-nál nagyobb szám sem osztható meg vele. Így:
D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Többet tud: Szórakoztató tények a természetes számok megosztásáról
Többszörös és osztó tulajdonjoga
Ezek a tulajdonságok kapcsolódnak a osztály két egész között. Ne feledje, hogy ha egy egész szám többszöröse egy másiknak, akkor az is osztható a másik számmal.
Tekintsük a osztási algoritmus hogy jobban megérthessük a tulajdonságokat.
N = d · q + r, ahol q és r egész számok.
Emlékezz arra N nak, nek hívják osztalék;d, elválasztó;q, hányadosként; és r egyébként.
→ 1. tulajdonság: Az osztalék és a maradék (N - r) közötti különbség az osztó többszöröse, vagy a d szám osztója az (N - r).
→ 2. tulajdonság: (N - r + d) d többszöröse, vagyis a d szám osztója (N - r + d).
Lásd a példát:
- Az 525 8-as osztásának végrehajtásakor q = 65, a maradék r = 5 hányadost kapunk. Így megkapjuk az N = 525 osztalékot és a d = 8 osztót. Nézze meg, hogy a tulajdonságok teljesülnek-e, mert (525 - 5 + 8) = 528 osztható 8-mal és:
528 = 8 · 66
prímszámok
Ön prímszámok azok, amelyek osztóként szerepeljen a felsorolásban csak az 1-es szám és maga a szám. Annak ellenőrzésére, hogy egy szám prím-e vagy sem, az egyik legtriviálisabb módszer az, ha felsorolja a szám osztóit. Ha 1-nél nagyobb számok és a kérdéses szám jelenik meg, akkor az nem prím.
→ Ellenőrizze, hogy melyek a 2 és 20 közötti prímszámok. Ehhez soroljuk fel e számok osztóit 2 és 20 között.
D (2) = {1, 2}
D (3) = {1,3}
D (4) = {1, 2, 4}
D (5) = {1, 5}
D (6) = {1, 2, 3, 6}
D (7) = {1, 7}
D (8) = {1, 2, 4, 8}
D (9) = {1, 3, 9}
D (10) = {1, 2, 5, 10}
D (11) = {1, 11}
D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D (13) = {1, 13}
D (14) = {1, 2, 7, 14}
D (15) = {1, 3, 5, 15}
D (16) = {1, 2, 4, 16}
D (17) = {1, 17}
D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D (19) = {1, 19}
D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Tehát a 2 és 20 közötti prímszámok a következők:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 és 19}
Ne feledje, hogy a készlet az első prímek közül származik, ez a lista folytatódik. Vegye figyelembe, hogy minél nagyobb a szám, annál nehezebb megmondani, hogy elsődleges-e vagy sem.
Olvass tovább: Irracionális számok: azok, amelyek nem ábrázolhatók törtrészekben
megoldott gyakorlatok
1. kérdés - (UMC-SP) A 60 fő osztó halmazában az elemek száma:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 10
Megoldás
A alternatíva
Először felsoroljuk a 60 osztóit, majd megnézzük, melyek a legfontosabbak.
D (60) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Ezek közül a számok közül az elsődleges:
{2, 3, 5}
Ezért a 60 fő osztó száma 3.
2. kérdés - Írjon minden 100-nál kisebb természetes számot és 15-ös szorzót.
Megoldás
Tudjuk, hogy a 15 többszöröse annak az eredménye, ha a 15 számot megszorozzuk az összes egész számmal. Mivel a gyakorlat azt kéri, hogy írjuk be a 100-nál kisebb természetes számokat, amelyek a 15-ös többszörösei, meg kell tennünk szorozzuk meg a 15-öt minden nullánál nagyobb számmal, amíg meg nem találjuk a legnagyobb szorzót 100 előtt így:
15 · 1 = 15
15 · 2 = 30
15 · 3 = 45
15 · 4 = 60
15 · 5 = 75
15 · 6 = 90
15 · 7 = 105
Ezért a 100-nál kisebb természetes számok és a 15-ös többszörösei:
{15, 30, 45, 60, 75, 90}
3. kérdés - Mi az 5-ös legnagyobb többszöröse 100 és 1001 között?
Megoldás
Az 5-ös legnagyobb többszörösének a 100 és 1001 közötti meghatározásához egyszerűen azonosítsa az 5-ös első többszörösét hátulról előre.
Az 1001 nem többszöröse az 5-nek, mivel nincs olyan egész szám, amely 5-zel megszorozva 1001-et eredményezne.
1000 az 5 többszöröse, mivel 1000 = 5 200.
Ezért az 5 legnagyobb többszöröse, 100 és 1001 között, 1000.
írta Robson Luiz
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplos-divisores.htm
