Nál nél algebrai kifejezések azok a matematikai kifejezések, amelyek számok és betűk vannak, más néven változók. Betűket használunk ismeretlen értékek ábrázolására, vagy akár a kifejezés viselkedésének elemzésére ennek a változónak az értéke alapján. Az algebrai kifejezések meglehetősen gyakoriak a egyenletek valamint képletek írásával a matematikában és a kapcsolódó területeken.
Ha az algebrai kifejezésnek egyetlen algebrai kifejezése van, akkor az úgynevezett egytagú; ha több van, akkor hívják polinom. Lehetőség van algebrai műveletek kiszámítására is, amelyek az algebrai kifejezések közötti műveletek.
Olvassa el: Algebrai törtek - olyan kifejezések, amelyek legalább egy ismeretlenet tartalmaznak a nevezőben
Mi az algebrai kifejezés?
Algebrai kifejezésként definiáljuk a kifejezés, amely betűket és számokat tartalmaz, alapvető matematikai műveletekkel elválasztva, mint összeadás és szorzás. Az algebrai kifejezések nagy jelentőséggel bírnak a matematika legfejlettebb tanulmánya szempontjából, lehetővé téve az ismeretlen értékek számítását egyenletekben vagy akár a funkciók tanulmányozását. Nézzünk meg néhány példát az algebrai kifejezésekre:
a) 2x²b + 4ay² + 2
b) 5 m38
c) x² + 2x - 3
Az algebrai kifejezések adott neveket kapnak attól függően, hogy hány algebrai kifejezésük van.
monomálisok
Az algebrai kifejezés monomium néven ismert, ha van csak egy algebrai kifejezés. Az algebrai kifejezés olyan betűket és számokat tartalmaz, amelyeket csak szorzat választ el egymástól.
A monómium két részre oszlik: o együttható, amely a betűt szorzó szám, és a szó szerinti része, amely a változó a kitevőjével.
Példák:
a) 2x³ → együttható értéke 2, a szó szerinti része pedig x³.
b) 4ab → együttható értéke 4, a szó szerinti része pedig ab.
c) m²n → együttható értéke 1, a szó szerinti része pedig egyenlő m²n.
Amikor két monomális szó szerinti részei megegyeznek, akkor hasonló monomálisoknak nevezik őket.
Példák:
a) 2x3 és 4x3 hasonló.
b) 3ab² és -7ab² hasonló.
c) 2mn és 3mn2 nem hasonlóak.
d) 5y és 5x nem hasonlóak.
Lásd még: Algebrai törtek összeadása és kivonása - hogyan lehet kiszámítani?
Polinomok
Ha az algebrai kifejezésnek sok algebrai kifejezése van, akkor azt polinomnak nevezzük. A polinom nem más, mint a összeg vagy különbség a monomálisok között. Elég gyakori a használata polinomok az egyenletek és függvények tanulmányozásában, vagy az analitikai geometria, a geometria elemeinek egyenleteinek leírására.
Példák:
a) 2x² + 2x + 3
b) 2ab - 4ab² + 2a - 4b + 1
c) 5 mn - 3
d) 4y² + x³ - 4x + 8
Az algebrai kifejezések egyszerűsítése
Algebrai kifejezésben ha vannak hasonló kifejezések, egyszerűsíteni lehet ezt a kifejezést. hasonló kifejezések együtthatóival végzett műveletek révén.
Példa:
5xy² + 10x - 3xy + 4x²y - 2x²y² + 5x - 3xy + 9xy² - 4x²y + y
Az egyszerűség kedvéért azonosítsunk hasonló kifejezéseket, vagyis azokat a kifejezéseket, amelyeknek ugyanaz a szó szerinti része.
5xy²+ 10x- 3xy+ 4x²y - 2x²y² + 5x- 3xy+ 9xy² – 5x²y
A műveleteket hasonló feltételek között hajtjuk végre, majd:
5x2 + 9x2 = 14x2
10x + 5x = 15x
-3xi-3xi = -6xi
4x²y -5x²y = -1x²y = -x²y
A -2x²y² kifejezésnek nincs hasonló kifejezése, ezért az egyszerűsített algebrai kifejezés a következő lesz:
-2x²y² + 14xy² + 15x - 6xy -x²y
algebrai műveletek
Algebrai kifejezések hozzáadása vagy kivonása nem más, mint a kifejezés leegyszerűsítése, tehát csak hasonló algebrai kifejezésekkel lehet működtetni. Szorzáskor azonban a kifejezések közötti elosztási tulajdonságot kell használni, amint azt a következő példák mutatják:
Összeadási példa:
(2x² + 3xy - 5) + (3x² - xy + 2)
Mivel ez kiegészítés, egyszerűen eltávolíthatjuk a zárójeleket, anélkül, hogy megváltoztatnánk a feltételek egyikét sem:
2x² + 3xy - 5 + 3x² - xy + 2
Most egyszerűsítsük a kifejezést:
5x² + 2xy - 3
Kivonási példa:
(2x² + 3xy - 5) - (3x² - xy + 2)
A zárójelek eltávolításához meg kell fordítani az egyes algebrai tagok jeleit a második kifejezésben:
2x² + 3xy - 5 –3x² + xy - 2
Most egyszerűsítsük a kifejezést:
- x² + 4xy - 7
Szorzási példa:
(2x² + 3xy - 5) (3x² - xy + 2)
A disztribúciós tulajdonság alkalmazásával a következőket találjuk:
6x4 - 2x³y + 4x² + 9x³y - 3x²y² + 6xy - 15x² - 5xy + 10
Most egyszerűsítsük a kifejezést:
6x4 + 7x³y - 11x² –3x²y² + xy + 10
Hozzáférhet továbbá: Hogyan lehet egyszerűsíteni az algebrai törtrészeket?
Az algebrai kifejezések számértéke
Amikor ismerjük egy algebrai kifejezés változó értékét, megtalálhatjuk annak numerikus értékét. Az algebrai kifejezés számértéke nem más, mint a végeredmény, amikor a változót egy értékkel helyettesítjük.
Példa:
Az x³ + 4x² + 3x - 5 kifejezést figyelembe véve, mekkora a kifejezés numerikus értéke, ha x = 2.
A kifejezés értékének kiszámításához cseréljük le x-et 2-re.
2³ + 4 · 2² + 3 · 2 – 5
8 + 4 · 4 + 6 – 5
8 + 16 + 6 – 5
30 – 5
25
megoldott gyakorlatok
1. kérdés - A következő téglalap kerületét ábrázoló algebrai kifejezés a következő:
A) 5x - 5
B) 10x - 10
C) 5x + 5
D) 8x - 6
E) 3x - 2
Felbontás
B. alternatíva
A kerület kiszámításához adjuk össze a négy oldalt. Tudva, hogy a párhuzamos oldalak azonosak, meg kell tennünk:
P = 2 (2x - 4) + 2 (3x - 1)
P = 4x - 8 + 6x - 2
P = 10x - 10
2. kérdés - (Enem 2012) A téglalap alakú szövetbélés címkéjén szerepel az az információ, hogy az első mosás után összezsugorodik, ugyanakkor megtartja az alakját. A következő ábra mutatja az eredeti mennyezeti méréseket és a zsugorodás méretét (x) hosszában és (y) szélességében. Az algebrai kifejezés, amely a mennyezet területét mutatja mosás után, az (5 - x) (3 - y).
Ilyen körülmények között a bélés elveszett területét az első mosás után a következők fejezik ki:
A) 2xy
B) 15 - 3x
C) 15 - 5 év
D) -5y - 3x
E) 5y + 3x - xy
Felbontás
E. alternatíva
Az a területének kiszámításához téglalap, kiszámítjuk a területet a téglalap alapja és magassága közötti szorzat megkeresésével. A mennyezet hiányzó részét elemezve lehetséges két téglalapra osztani, de van olyan régió, amely a két téglalaphoz tartozik, ezért le kell vonnunk a területet ebből a régióból.
A legnagyobb téglalapnak van 5 alapja és y magassága, ezért területét 5y adja meg. A másik háromszög alapja x és magassága 3, tehát területét 3x adja meg. A két téglalaphoz tartozó régiónak egyszerre van x alapja és y magassága, ezért mivel a két téglalapba számít, vonjuk ki a területek összegéből. Így az elveszett területet az algebrai kifejezés adja meg:
5y + 3x - xy
Írta: Raul Rodrigues Oliveira
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/expressao-algebrica.htm