Sokszögek képek lapos geometriák és zárt által alkotott egyenes szegmensek. A sokszögeket két csoportra osztják, a konvex és a nem domború. Amikor egy sokszög minden oldala egyenlő, következésképpen az összes szögek belső egyenlő, ez egy sokszög szabályos. A szabályos sokszögeket oldaluk száma alapján nevezhetjük meg.
Lásd még: Körülírt sokszögek építése
Sokszög elemei
A sokszög egy lapos, zárt alak, amelyet véges számú egyenes szegmens egyesítése alkot. Tehát vegye figyelembe a sokszöget:
Az A, B, C, D, E, F, G és H pontok a csúcsok és az AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH és HA szegmensek találkozásából, ún. oldalán a sokszög.
Az AF, AE, AD és BG szegmensek a Diagonal vonalok a sokszög. (Ne feledje, hogy ezek az átlósok néhány példája, az előző sokszögben ezekből több van.) Az átlós olyan vonalszakaszok, amelyek "összekapcsolják" a sokszög csúcsait.
A sokszög nomenklatúrája
Megnevezhetjük a sokszögeket azok szerint oldalak száma. Lásd a fő sokszögek nevét az alábbi táblázatban.
Oldalak száma (n) |
Elnevezéstan |
3 |
háromszög |
4 |
négyszög |
5 |
Pentagon |
6 |
Hatszög |
7 |
Hétszög |
8 |
Nyolcszög |
9 |
Enneagon |
10 |
Tíz szög |
11 |
Undecagon |
12 |
Tizenkét szög |
15 |
Pentadecagon |
20 |
Icosagon |
Ne feledje, hogy nem az asztalt kell díszíteni, hanem megérteni. A háromszög és a négyszög kivételével a szóalak:
Oldalak száma + gono
Például, ha megvan a öt oldal, automatikusan megjegyzi az előtagot penta plusz a gono utótag: Pentagon.
Példa
Határozza meg a következő sokszög nevét:
sokszög osztályozás
A sokszögeket a szögeinek mértéke és oldalán. Egy sokszöget egyenlő oldalúnak mondunk, ha egybevágó oldalai vannak, vagyis minden oldal egyenlő; és akkor nevezzük háromszögnek, ha egybevágó szögei vannak, vagyis minden egyenlő szöge van.
Ha egy sokszög egyenlő és egyenlő, akkor a szabályos sokszög.
Minden szabályos sokszögben a középpont azonos távolsággal rendelkezik az oldalaktólvagyis egyenlő távolságra van az oldalaktól. A sokszög közepe egyben a sokszögbe beírt kör középpontja is, vagyis a körméret amely a kerületen "belül van".
Olvass tovább: Sokszög hasonlóság: nézze meg, mi a feltétel
A sokszög belső szögeinek összege
Legyél aén szabályos n oldalú sokszög belső szöge, ezeknek a belső szögeknek az összegét S-vel fogjuk ábrázolnién.
Így a belső szögek összegét a következők adják meg:
sén = (n - 2) - 180 °
Az egyes belső szögek értékének kiszámításához vegye fel a belső szögek összegét, és ossza el az oldalak számával, azaz:
Aén = sén
nem
Példa 1
Határozza meg az ikozagon belső szögeinek összegét, majd az egyes belső szögek mértékét.
Tudjuk, hogy egy ikozagonnak húsz oldala van, tehát n = 20. Helyettesítve a kapcsolatokat, rendelkezünk:
sén = (n - 2) - 180 °
sén = (20 - 2) · 180°
sén = 18 · 180°
sén = 3240°
Most, hogy meghatározza az egyes belső szögek értékét, egyszerűen ossza el a talált értéket az oldalak számával:
Aén = 3240°
20
Aén = 162°
Példa 2
A szabályos sokszög belső szögeinek összege 720 °, keresse meg a sokszöget.
A képletben szereplő állítások információinak helyettesítése a következőket kínálja:
720 ° = (n - 2) - 180 °
720 ° = 180n - 360 °
180n = 720 ° + 360 °
180n = 1080 °
n = 1080°
180°
n = 6 oldal
Így a kívánt sokszög a hatszög.
A sokszög külső szögeinek összege
A sokszög külső szögeinek összege mindig egyenlő 360 ° -kal.
sés = 360°
Aés = sés
nem
Aés = 360°
nem
Sokszög átlós
Tekintsünk egy n oldalú sokszöget. Az átló (d) számának meghatározásához a következő összefüggést használjuk:
d = n · (n - 3)
2
Példa
Határozza meg az ötszög átlóinak számát és ábrázolja őket.
Tudjuk, hogy egy ötszögnek öt oldala van, tehát n = 5. A kifejezés helyettesítésével:
d = 5 · (5 - 3)
2
d = 5 · 2
2
d = 5
A sokszögek területe és kerülete
O kerülete sokszögek értékét a összeg minden oldalról. A sokszög területét úgy számolják, hogy a sokszöget olyan területekre osztják, amelyek könnyebben kiszámíthatók a területre, például a háromszögre és a négyzetre.
AΔ = alap · magasság
2
Anégyzet = alap · magasság
Példa
Határozzon meg egy matematikai kifejezést, amely a szabályos hatszög területét képviseli.
Megoldás:
Kezdetben vegye figyelembe a szabályos hatszöget és az összes egyenes szakaszot, amely összeköti a sokszög közepét az egyes csúcsokkal. Így:
Vegye figyelembe, hogy annak a ténynek a következtében, hogy a hatszög szabályos, felosztásakor hatot találunk háromszögek egyenlő oldalúak, tehát a hatszög területe az egyenlő oldalú háromszög területének hatszorosa, azaz:
Ahatszög = 6 · AΔ
Ahatszög = 6 · l2 · √3
4
Ahatszög = 3 · l2 · √3
2
Ahatszög = 3 · l2·√3
2
Olvassa el:egyenlő oldalú háromszög területe
megoldott gyakorlatok
1. kérdés - (Ellenség) A medence olyan alakú, mint egy szabályos sokszög, amelynek belső szöge a külső szög három és félszerese. Mennyi az a sokszög belső szögeinek összege, amelynek alakja megegyezik ezzel a medencével?
a) 1800 °
b) 1620.
c) 1440 °
d) 1260 °
e) 1080 °
Megoldás
Mivel nem ismerjük a sokszög oldalainak számát, képzeljük el ennek a sokszögnek csak az egyik csúcsát.
A képből azt láthatjuk, hogy:
Aén + aés = 180 ° (I)
Az állításból kiderül, hogy:
Aén = 3,5 · aés (II)
A (II) egyenletet az (I) egyenletbe behelyettesítve:
3.5 · aés + aés = 180°
4,5 · aés = 180°
Aés = 180°
4,5
Aés = 40°
Tudjuk azonban, hogy a belső szög a sokszög oldalainak számával 360 ° -os osztás. Így:
Aés = 360°
nem
40° = 360°
nem
40n = 360 °
n = 360°
40°
n = 9
Ezért a medence belső szögeinek összege:
sén = (n - 2) - 180 °
sén = (9 - 2) · 180°
sén = 7 · 180°
sén = 1260°
írta Robson Luiz
Matematikatanár
