Ön természetes számok voltak az első numerikus halmaz, amelyet történelmileg figyelembe kellett venni. Kijöttek a számolni kell az emberi lény. A természetes számok halmazának elemei a pozitív számok és egész számok, mint 1, 2, 3, 4,…. Ez a készlet rendelkezik az összeadási műveletekkel, kivonás, szorzás, osztás, potencírozás és sugárzás.
Mik a természetes számok?
a természetes számok számok szigorúan pozitív amelyeknek nincs vesszőjük, vagyis mennyiségeket képviselnek egész. A természetes számok halmaza a következőképpen ábrázolható:
A természetes számok halmaza a végtelen halmaz, azaz bármely természetes számot figyelembe véve legalább egy szám nagyobb, mint tőle. Tekintsen meg néhány példát olyan elemekre, amelyek ebbe a halmazba tartoznak és nem.
A fenti példából kiderül, hogy a 10-es, a 2-es és a 100-as szám a természetes halmazhoz tartozik, az 1,65-ös, –2-es és 0-os szám pedig nem a természetes halmazhoz.
Olvasd el te is: Szórakoztató tények a természetes számok megosztásáról
Természetes szám utódja
Mint fentebb említettük, a természetes számok halmaza végtelen halmaz, vagyis tetszőleges számot kap nem természetes, mindig van n + 1, természetes is. A szám n + 1 utódjának nevezik n. Bármely természetes szám utódjának meghatározásához csak hozzá 1 arra a számra. Példaként határozzuk meg a 3, 1, 5 és 2p + 1 számok utódjait.
A 3 szám utódját a 3 + 1, vagyis a 4 szám adja meg. Hasonlóképpen az 1-es és az 5-ös utódjai 2, illetve 6. Az utód definícióját követve legyen, hogy a 2p + 1 utódja 2p + 1 + 1, vagyis 2p + 2.
Az utód meghatározásával világosabbá válik az a gondolat, hogy a természetes számok halmaza végtelen, mivel mindig lehetséges megtalálni a természetes szám bármelyik utódját.
Természetes szám őse
A természetes szám elődje nem az, amely ezt a számot megelőzi nem. Írhatjuk a elődje nem mint n - 1. Példaként határozzuk meg a 2, 5, 1000 és 2p + 1 számok elődeit.
A 2 elődjét a 2 - 1 adja meg, tehát ez az 1-es szám. Hasonlóképpen, az 5-ös és az 1000-es elődök a 4-es és a 999-es számok. A 2p + 1 szám elődje 2p + 1 - 1, vagyis a 2p +1 elődje a 2p szám.
Fontos ezt elmondani nem minden természetes számnak van elődje, az 1. szám esete. Az ős definícióját alkalmazva megállapíthatjuk, hogy az 1 szám elődje 1 - 1 = 0, de a szám a nulla nem tartozik a természetes számokhoz. Ezért minden természetes számnak van elődje, az 1. szám kivételével. Emiatt az 1-es számot a naturálok legkisebb elemének nevezik, vagyis ez a legkisebb természetes szám. Ezt az információt így írhatjuk:
A természetes számok részhalmaza
Tudjuk, hogy a természetes számok halmaza szigorúan pozitív számokból áll, vagyis nullánál nagyobb számokból áll. Elméletéből készletek, megvan, hogy az A és B halmazra tekintettel ezt mondjuk B az A részhalmaza, ha B minden eleme A eleme, vagyis B az A-ban található (B ⸦ A).
Így bármely természetes szám által alkotott halmaz a természetes számok részhalmaza lesz. Néhány példa:
Vegye figyelembe a készleteket:
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12,…}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…}
C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23}
D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Az A, B és C halmazok a természetes számok részhalmazai, mivel ezeknek a halmazoknak az összes eleme a természetes számok eleme is, vagyis azt mondhatjuk, hogy:
Most nézze meg a D készletet. Vegye figyelembe, hogy ebben a halmazban nem minden elem tartozik a természetes számok halmazába. Ez a helyzet a 0 számmal. Ezért D ez nem részhalmaz természetes számokból, vagyis D nem szerepel a természetes számok halmazában. Ezt a tényt a következőképpen jelöljük:
Olvassa el: Prime számok: mik ezek és hogyan lehet megtalálni őket?
akár természetes számok
Azt mondjuk, hogy egy szám akkor is egyenlő, ha a 2-es szám többszöröse, ami egyenértékű azzal, hogy azt mondjuk, hogy ez a szám osztható 2-vel. Néz:
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,…}
Mivel a természetes számok halmaza végtelen halmaz, így a páros számok halmaza is. Vegye figyelembe azt is, hogy a páros számok halmazának minden eleme a természetes számok és ezért a halmazok eleme is a páros számok a naturálok részhalmaza..
Nézd azt:
2 = 2 · 1
4 = 2 · 2
6 = 2 · 3
8 = 2 · 4
10 = 2 ·5
12 = 2 · 6
A páros számok halmaza megszerezhető, ha az összes természetes számot megszorozzuk a 2-es számmal. Tehát figyelembe véve a természetes számot nem, páros számot írhatunk a 2n kifejezés használatával, így a páros számok halmazát általában a következő módon írhatjuk fel:
Példaként derítsük ki, hogy az 1000, 2098 és 55 számok párosak-e.
Mivel 1000 = 2,500 és 2098 = 2,1049, még azért is, mert létezik egy természetes szám, amelyet 2-gyel megszorozva adunk meg nekik. Most az 55 nem egyenletes, mivel nincs olyan természetes szám, amely 2-vel megszorozva 55-et eredményezne. Néz:
54 = 2 · 27
56 = 2 · 28
Mint jól tudjuk, 27 és 28 között nincs természetes szám, tehát az 55 nem egyenletes.
Páratlan természetes számok
Egy szám páratlan, ha nem páros, vagyis ha nem több, és nem osztható 2-vel. Így a halmaza a páratlan természetes számok olyan természetes számok, amelyek nem a 2-szeresei. Ez a készlet a következőképpen írható:
{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,…}
Hasonlóan ahhoz, amit a páros számok halmazában tettünk, megvan:
3 = 2 · 1 + 1
5 = 2 · 2 + 1
7 = 2 · 3 + 1
9 = 2 · 4 + 1
11 = 2 · 5 + 1
13 = 2 · 6 + 1
A páratlan számok halmazát meg lehet szerezni szorzással minden természetes számot 2-vel és 1-et adunk hozzá. természetes számot figyelembe véve nem bármelyik, bármilyen páratlan számot írhatunk a 2n + 1 kifejezés használatával. Általánosságban a páratlan számok halmazát képviseljük:
Vegye figyelembe, hogy a páratlan számok halmaza is végtelen halmaz, mivel a páratlan számok megszerzéséhez a természetes számokat megszorozzuk 2-vel, majd hozzáadunk 1-et. Emiatt a a páratlan számok halmaza a naturálok részhalmaza is., mert ennek a halmaznak minden eleme a természetes elemeké is.
Lásd még: Páros és páratlan számú tulajdonságok
megoldott gyakorlatok
1. kérdés - Csak az alább felsorolt számok természetes számát sorolja fel:
0, 1, 2, 0,43; -1, - 0.5 és 98.765
Megoldás
Tudjuk, hogy a természetes számok halmaza szigorúan pozitív számokból áll, amelyek nem rendelkeznek vesszővel, így a listában szereplő természetes számok: 1, 2 és 98 765.
2. kérdés - A páros szám általános alakját figyelembe véve igaz, hogy két páros szám hozzáadásával az eredmény még mindig páros? Ugyanez vonatkozik a páratlan számokra is?
Megoldás
Tudjuk, hogy páros szám írható úgy, hogy bármely természetes számot megszorozzunk 2-vel. Tekintsünk két külön természetes számot, a 2n és 2m, ahol m és nem bármely természetes szám, a kettő összegét az alábbiak határozzák meg:
2n + 2m
A 2-es számot bizonyítékként:
2 · (n + m)
Mint nem és m két természetes szám, ezek összege is, tehát n + m = k, ahol k természetes szám.
2 · (n + m)
2 · k
Ezért két páros természetes szám összege is páros szám, mivel az összeg 2-es többszörösét eredményezte.
Most már tudjuk, hogy egy páratlan számot úgy kapunk, hogy a természetes számot megszorozzuk az 1-hez hozzáadott 2-vel. Most vegyen figyelembe két különálló páratlan számot, a 2n +1 és a 2m + 1 számokat m és nem természetes. Ha ezeket a számokat összeadjuk, akkor:
2n + 1 + 2m +1
2n + 2m +2
Ismét bizonyítékként állítva a 2. számot:
2 (n + m + 1)
Vegye figyelembe, hogy n + m + 1 természetes szám, és p-vel tudjuk ábrázolni, n + m + 1 = p, hamar:
2 ·(n + m + 1)
2 · P
Ne feledje, hogy két páratlan szám összeadásának eredménye a 2-es többszörösét, azaz párosat eredményezte. Ezért két páratlan szám összege páros szám.
3. kérdés - (Pályázat / Pref. Itaboraí-ból) Két természetes szám hányadosa 10. Ha az osztalékot megszorozzuk 5-tel és az osztót felére csökkentjük, az új osztás hányadosa a következő lesz:
a) 2
b) 5
c) 25
d) 50
e) 100
Megoldás
A megállapítás szerint a két természetes szám közötti hányados (osztás) 10. Mivel még mindig nem tudjuk, melyek ezek a számok, nevezzük meg őket m és nem, azután:
Most, ha megszorozzuk az osztalékot 5-tel, és az osztót felére csökkentjük, akkor:
A tört osztása és az értékének helyettesítése m, nekünk lesz:
Válasz: Alternatív e.
írta Robson Luiz
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-naturais.htm