A numerikus sorozat a számok rendezett módon rendezett halmaza. A numerikus sorozat különböző kritériumok alapján összeállítható – például a páros számok sorozata vagy a 3 többszöröseinek sorozata. Ha ezt a kritériumot képlettel írhatjuk le, akkor ezt a képletet a numerikus sorozat kialakulásának törvényének nevezzük.
Olvasd el te is: Különbségek a számok, számok és számjegyek között
Összegzés a numerikus sorozatról
A számsor a számok sorba rendezett listája.
A numerikus sorozat különböző kritériumokat követhet.
A numerikus sorozat előfordulási törvénye a sorozatban létező elemek listája.
A sorozat kétféleképpen osztályozható. Az egyik az elemek számát, a másik a viselkedést veszi figyelembe.
Ami az elemek számát illeti, a sorozat lehet véges vagy végtelen.
Ami a viselkedést illeti, a sorozat lehet növekvő, állandó, csökkenő vagy oszcilláló.
Ha a numerikus sorozat egy egyenlettel írható le, ezt az egyenletet a numerikus sorozat kialakulásának törvényeként ismerjük.
Mik azok a sorozatok?
A szekvenciák azok
bizonyos sorrendbe rendezett elemkészletek. Mindennapi életünkben számos olyan helyzetet észlelhetünk, amelyek sorozatokat tartalmaznak:A hónapok sorrendje: január, február, március, április,..., december.
A 21. század első 5 világbajnokságának évfolyama: 2002, 2006, 2010, 2014, 2018.
Számos más lehetséges sorozat is létezik, például névsor vagy korsorozat. Valahányszor van egy kialakult sorrend, van egy sorrend is.
A sorozat minden eleme a sorozat tagjaként ismert, így a sorozatban ott van az első tag, a második tag és így tovább. Általában, egy sorozatot ábrázolhatunk:
\((a_1,a_2,a_3,…,a_n )\)
\(1-hez\) → az első tag.
\(a_2\) → a második tag.
\(a_3\) → a harmadik kifejezés.
\(a_n\) → bármely kifejezés.
A numerikus sorozat előfordulásának törvénye
Különféle elemek sorozatai lehetnek, például hónapok, nevek, a hét napjai stb. AA sorozat egy numerikus sorozat, amikor számokat tartalmaz. Kialakíthatjuk páros számok sorozatát, páratlan számokat, prímszámok, 5 többszörösei stb.
A sorozatot egy előfordulási törvény segítségével ábrázoljuk. Az előfordulás törvénye nem más, mint a numerikus sorozat elemeinek listája.
Példák:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → páratlan számok sorozata 1-től 15-ig.
(0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...) → olyan számsorozat, amely 5 többszöröse.
(-1, 1, -1, 1, -1, 1) → váltakozó szekvencia 1 és -1 között.
Mi a numerikus sorozat osztályozása?
A sorozatokat kétféleképpen osztályozhatjuk. Az egyik az elemek számát, a másik pedig ezen elemek viselkedését veszi figyelembe.
→ A numerikus sorozat osztályozása az elemek száma szerint
Ha a sorozatot az elemek száma szerint osztályozzuk, akkor két osztályozás lehetséges: a véges sorozat és a végtelen sorozat.
◦ Véges számsor
Egy sorozat véges, ha korlátozott számú eleme van.
Példák:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
(-4, -6, -8, -10, -12)
◦ Végtelen számsorozat
Egy sorozat akkor végtelen, ha korlátlan számú eleme van.
Példák:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...)
(3, 0, -3, -6, -9, -12, ...)
( -1, 2, -4, 8, -16, ...)
→ A numerikus sorozat osztályozása a sorozat viselkedése szerint
Az osztályozás másik módja a sorozat viselkedése. Ebben az esetben a sorozat lehet növekvő, állandó, oszcilláló vagy csökkenő.
◦ Növekvő számsor
A sorozat növekszik, ha egy tag mindig nagyobb, mint az elődje.
Példák:
(1, 5, 9, 13, 17, ...)
(10, 11, 12, 13, 14, 15, ...)
◦ Állandó számsor
A sorozat állandó, ha minden kifejezés azonos értékű.
Példák:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
(-1, -1, -1, -1, -1, ...)
◦ Csökkenő számsor
A sorozat csökkenő, ha a sorozatban szereplő kifejezések mindig kisebbek, mint elődeik.
Példák:
(-1, -2, -3, -4, -5, ...)
(19, 16, 13, 10, 8, ...)
◦ Oszcilláló számsor
A sorozat oszcilláló, ha felváltva vannak elődeiknél nagyobb és elődeiknél kisebb kifejezések.
Példák:
(1, -3, 9, -27, 81, ...)
(1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...)
A numerikus sorozat kialakulásának törvénye
Egyes esetekben lehetséges a sorozat leírása egy képlet segítségévelazonban ez nem mindig lehetséges. Például a prímszámok sorozata egy jól definiált sorozat, azonban képlettel nem írhatjuk le. A képlet ismeretében meg tudtuk alkotni a numerikus sorozat előfordulási törvényét.
1. példa:
Nullánál nagyobb páros számok sorozata.
\(a_n=2n\)
Cserekor vegye figyelembe n egynek természetes szám (1, 2, 3, 4, ...), páros számot fogunk találni:
\(a_1=2⋅1=2\)
\(a_2=2⋅2=4\)
\(a_3=2⋅3=6\)
\(a_4=2⋅4=8\)
Tehát van egy képlet, amely előállítja a nullánál nagyobb páros számokból álló sorozat tagjait:
(2, 4, 6, 8, ...)
2. példa:
4-nél nagyobb természetes számok sorozata.
\(a_n=4+n\)
A sorozat feltételeit kiszámítva a következőket kapjuk:
\(a_1=4+1=5\)
\(a_2=4+2=6\)
\(a_3=4+3=7\)
\(a_4=4+4=8\)
Az előfordulás törvényének felírása:
(5, 6, 7, 8,…)
Lásd még: Aritmetikai progresszió – a numerikus sorozatok speciális esete
Számsoros feladatok megoldása
1. kérdés
Egy numerikus sorozat képződési törvénye egyenlő \(a_n=n^2+1\). Ezt a sorozatot elemezve megállapíthatjuk, hogy a sorozat 5. tagjának értéke:
A) 6
B) 10
C) 11
D) 25
E) 26
Felbontás:
Alternatív E
A sorozat 5. tagjának értékét kiszámítva a következőt kapjuk:
\(a_5=5^2+1\)
\(a_5=25+1\)
\(a_5=26\)
2. kérdés
Elemezze a következő numerikus sorozatokat:
ÉN. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Megállapíthatjuk, hogy az I., II. és III. szekvenciákat a következőképpen osztályozzuk:
A) növekvő, oszcilláló és csökkenő.
B) csökkenő, növekvő és oszcilláló.
C) oszcilláló, állandó és növekvő.
D) csökkenő, oszcilláló és állandó.
E) oszcilláló, csökkenő és növekvő.
Felbontás:
C alternatíva
A sorozatokat elemezve megállapíthatjuk, hogy:
ÉN. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
Oszcilláló, mivel vannak olyan kifejezések, amelyek nagyobbak elődeiknél, és vannak olyan kifejezések, amelyek kisebbek elődeiknél.
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
Ez állandó, mivel a sorozat tagjai mindig ugyanazok.
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Növekszik, mivel a kifejezések mindig nagyobbak, mint elődeik.
