Egy egyenlet akkor exponenciális, ha az ismeretlen (ismeretlen érték) a hatvány kitevőjében van. Így azt a matematikai mondatot, amely két tag közötti egyenlőséget foglal magában, ahol az ismeretlen legalább egy kitevőben megjelenik, exponenciális egyenletnek nevezzük.
A hatvány önmagában az alapja szorzatának eredménye, ahányszor a kitevő meghatározza.
Egy exponenciális egyenletben meghatározzuk, hogy egy bizonyos eredmény elérése érdekében hány tényezőt szorozunk, azaz hányszor szorozzuk meg a bázist.
Az exponenciális egyenlet definíciója:
Ahol:
b az alap;
x a kitevő (ismeretlen);
a a hatalom.
Minek Ez
.
Példa egy exponenciális egyenletre:
Az ismeretlen változó a kitevőben van. Meg kell határoznunk, hogy 2 hányszor szorozódik meg, hogy 8 legyen. Mint 2. 2. 2 = 8, x = 3, mivel a 2-t háromszor kell megszorozni, hogy 8-at kapjunk.
Hogyan oldjunk meg exponenciális egyenleteket
Az exponenciális egyenletek többféleképpen is felírhatók, és megoldásukra egyenlő hatványokat használunk egyenlő bázisokkal, amelyeknek szintén azonos kitevőkkel kell rendelkezniük.
Mivel az exponenciális függvény injektív, a következőket kapjuk:
Ez azt jelenti, hogy két azonos bázisú hatvány akkor és csak akkor lesz egyenlő, ha a kitevőik is egyenlők.
Így az exponenciális egyenletek megoldásának egyik stratégiája az kiegyenlíti a hatalmi alapokat. Ha az alapok megegyeznek, kiküszöbölhetjük őket, és összehasonlíthatjuk a kitevőket.
A hatványok alapjainak kiegyenlítésére egy exponenciális egyenletben matematikai eszközöket használunk, mint pl. potencírozó tulajdonságok.
Példák exponenciális egyenletek megoldására
1. példa
Ez egy exponenciális egyenlet, mivel a mondat egy egyenlőséget (egyenletet) foglal magában, és az ismeretlen x változó a kitevőben (exponenciális).
Az ismeretlen x értékének meghatározásához a hatványok alapjait egyenlővé tesszük a 64 faktorizálásával.
64 = 2. 2. 2. 2. 2. 2 vagy
Behelyettesítve az egyenletbe:
Az alapokat figyelmen kívül hagyjuk, csak a kitevők közötti egyenlőséget hagyjuk.
x = 6
Így x = 6 az egyenlet eredménye.
2. példa
Az alapokat faktorizációval egyenlővé tesszük.
- 9 = 3. 3 =
- 81 = 3. 3. 3. 3 =
Behelyettesítve az egyenletbe:
Egy hatvány hatványtulajdonságát felhasználva megszorozzuk a bal oldalon lévő kitevőket.
Ha az alapok egyenlőek, akkor eldobhatjuk őket, és egyenlővé tesszük a kitevőket.
Így x = 1 az egyenlet eredménye.
3. példa
Az alap 0,75-öt átalakítjuk százas törtté.
Egyszerűsítjük a centezimális törtet.
9-et és 16-ot számolunk.
Az alapokat egyenlítve x = 2.
x = 2
4. példa
A gyökeret hatalommá alakítjuk.
A teljesítményalapokat figyelembe vesszük.
A kitevők szorzásával kiegyenlítjük az alapokat.
Ezért a következőket kell tennünk:
5. példa
Faktoring 25
5² hatványát átírjuk x-re. A kitevők sorrendjének megváltoztatása.
Segédváltozót használunk, amelyet y-nak nevezünk.
(tartsa meg ezt az egyenletet, később használjuk).
Behelyettesítés az előző egyenletbe.
A másodfokú egyenlet megoldásához a következőt kapjuk:
A másodfokú egyenlet megoldása {1, 5}, ez azonban nem az exponenciális egyenlet megoldása. Vissza kell térnünk az x változóhoz, használva
y = 1 esetén:
y = 5 esetén:
Az exponenciális egyenlet megoldása S={0, 1}.
Tudjon meg többet az erőkről:
- Potencírozás
- Potenció: számítás, példák és gyakorlatok
- Exponenciális függvény
Gyakorlatokhoz:
- 17 erősítő gyakorlat megjegyzésekkel ellátott sablonnal
- Exponenciális függvény gyakorlatok (megoldva és kommentálva)
ASTH, Rafael. Exponenciális egyenlet.Minden számít, [n.d.]. Elérhető: https://www.todamateria.com.br/equacao-exponencial/. Elérhetőség:
Lásd te is
- 27 Alapvető matematikai gyakorlatok
- 17 erősítő gyakorlat megjegyzésekkel ellátott sablonnal
- Sugárzási gyakorlatok
- Másodfokú egyenlet
- Exponenciális függvény – Gyakorlatok
- Lineáris rendszerek ütemezése
- Egyszerű és összetett kamat
- 11 gyakorlat a mátrixszorzásról
