Hoz halmazokkal végzett műveletek ezek egyesülés, metszéspont és különbség. Ezen műveletek mindegyikének eredménye egy új halmaz. A halmazok közötti unió jelzésére a ∪ szimbólumot használjuk; a metszéspontnál a ∩ szimbólum; a különbségre pedig annak a szimbóluma kivonás\(-\). Eltérés esetén feltétlenül be kell tartani a művelet végrehajtásának sorrendjét. Más szóval, ha A és B halmazok, akkor A és B közötti különbség különbözik B és A közötti különbségtől.
Olvasd el te is: Venn-diagram — halmazok és a köztük lévő műveletek geometriai ábrázolása
A halmazokkal végzett műveletek összefoglalása
A halmazokkal végzett műveletek a következők: egyesülés, metszéspont és különbség.
Az A és B halmazok egyesülése (vagy találkozása) az A ∪ B halmaz, amelyet az A-hoz vagy B-hez tartozó elemek alkotnak.
\(A∪B=\{x; x∈A\ vagy\x∈B\}\)
Az A és B halmazok metszéspontja az A ∩ B halmaz, amelyet az A-hoz és a B-hez tartozó elemek alkotnak.
\(A∩B=\{x; x∈A\ és\ x∈B\}\)
Az A és B halmazok közötti különbség az A – B halmaz, amelyet az A-hoz tartozó és a B-hez nem tartozó elemek alkotnak.
\(A -B =\{x; x∈A\e\x∉B\}\)
Ha U (az univerzum halmazaként ismert) egy olyan halmaz, amely egy adott környezetben az összes halmazt tartalmazza, akkor az U – A különbséget, ahol A ⊂ U, A komplementerének nevezzük. Az A komplementerét olyan elemek alkotják, amelyek nem tartoznak A-hoz, és képviseli Aw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Videó lecke a halmazokkal végzett műveletekről
Mi a három művelet halmazokkal?
A három művelet készletekkel a következők: egyesülés, metszéspont és különbség.
A halmazok egyesülése
Az A és B halmaz egyesülése (vagy találkozása) az A ∪ B halmaz (lásd: „B unió”). Ez a halmaz az A halmazhoz tartozó összes elemből áll vagy a B halmazhoz tartoznak, vagyis a olyan elemek, amelyek legalább az egyik halmazhoz tartoznak.
A ∪ B elemeit x-szel ábrázolva írunk
\(A∪B=\{x; x∈A\ vagy\x∈B\}\)
Az alábbi képen a narancssárga régió a készlet A ∪B.
Nehéznek tűnik? Nézzünk két példát!
1. példa:
Mi az A ∪ B halmaz, ha A = {7, 8} és B = {12, 15}?
Az A ∪ B halmazt az A-hoz tartozó elemek alkotják vagy B-hez tartoznak. Mivel a 7. és 8. elem az A halmazhoz tartozik, így mindkettőnek az A ∪ B halmazhoz kell tartoznia. Továbbá, mivel a 12 és 15 elem a B halmazhoz tartozik, akkor mindkettőnek az A ∪ B halmazhoz kell tartoznia.
Ebből adódóan,
A ∪ B={7, 8, 12, 15}
Figyeljük meg, hogy A∪B minden eleme vagy az A halmazhoz vagy a B halmazhoz tartozik.
2. példa:
Tekintsük az A = {2, 5, 9} és B = {1, 9} halmazokat. Mi az A ∪ B halmaz?
Mivel a 2., 5. és 9. elemek az A halmazhoz tartoznak, így mindegyiknek az A∪B halmazhoz kell tartoznia. Továbbá, mivel az 1. és 9. elem a B halmazhoz tartozik, akkor mindegyiknek az A ∪ B halmazhoz kell tartoznia.
Vegye figyelembe, hogy a 9-et kétszer említettük, mivel ez az elem az A és a B halmazhoz tartozik. Mondván, hogy „az A ∪ B halmazt az A-hoz tartozó elemek alkotják vagy B-hez tartoznak” nem zárja ki azokat az elemeket, amelyek egyidejűleg tartoznak az A és B halmazokhoz.
Tehát ebben a példában ez van
A ∪ B={1, 2, 5, 9}
Vegye figyelembe, hogy a 9-es elemet csak egyszer írjuk le.
Halmazok metszéspontja
Az A és B halmazok metszéspontja az A ∩ B halmaz (lásd: „B metszéspont”). Ez a halmaz az A halmazhoz tartozó összes elemből áll Ez a B halmazhoz tartozik. Más szóval, A ∩ B Az A és B halmaz közös elemeiből áll.
Az A ∩ B elemeit x-szel jelölve írjuk
\(A∩B=\{x; x∈A\ és\ x∈B\}\)
Az alábbi képen a narancssárga régió a készlet A ∩B.
Oldjunk meg két példát a halmazok metszéspontjára!
1. példa:
Tekintsük A = {-1, 6, 13} és B = {0, 1, 6, 13}. Mi az A ∩ B halmaz?
Az A ∩ B halmazt az A halmazhoz tartozó összes elem alkotja Ez a B halmazhoz tartozik. Figyeljük meg, hogy a 6. és 13. elem egyszerre tartozik az A és B halmazhoz.
Mint ez,
A ∩ B={6, 13}
2. példa:
Mi a metszéspontja az A = {0,4} és halmazok között \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Vegye figyelembe, hogy nincs közös elem az A és B halmazok között. Így a metszéspont egy elem nélküli halmaz, vagyis egy üres halmaz.
Ebből adódóan,
\(\)A ∩ B={ } = ∅
Különbség a készletek között
Az A és B halmaz közötti különbség az A – B halmaz (olvasd: „A és B közötti különbség”). Ez a készlet a következőkből áll minden olyan elem, amely az A halmazhoz tartozik és nem tartozik a B halmazhoz.
Az A – B elemeit x-szel ábrázolva írunk
\(A-B=\{x; x∈A\ és\ x∉B\}\)
Az alábbi képen a narancssárga régió a setA – B.
Figyelem: az A és B halmazok közötti különbség nem a B és A halmaz közötti különbség, mert B – A halmazok összes eleméből állnak, amelyek a B halmazhoz tartoznak és nem tartoznak az A halmazhoz.
Tekintsük az alábbi két példát a halmazok közötti különbségekről.
1. példa:
Ha A = {-7, 2, 100} és B = {2, 50}, akkor mi az A – B halmaz? Mi a helyzet a B – A készlettel?
A készletA-B az A halmazhoz tartozó összes elemből áll Eznem a B halmazhoz tartozik. Vegye figyelembe, hogy az A halmaz egyetlen eleme a 2, amely a B halmazhoz is tartozik. Így 2 nem tartozik az A – B halmazba.
Ebből adódóan,
A – B = {-7, 100}
Továbbá a B – A halmazt a B halmazhoz tartozó összes elem alkotja Eznem az A halmazhoz tartozik. Ebből adódóan,
B – A = {50}
2. példa:
Mi a különbség az A = {–4, 0} halmaz és a B = {–3} halmaz között?
Vegyük észre, hogy A egyik eleme sem tartozik B-hez. Így az A – B különbség maga az A halmaz.
\(A - B = \{-4,0\} = A\)
Megfigyelés: Tekintsük, hogy U (úgynevezett univerzum halmaz) egy olyan halmaz, amely egy adott helyzetben az összes többi halmazt tartalmazza. Mint ez, a különbség U–A, val vel A⊂U, egy halmaz, amelyet A-val komplementernek neveznek és úgy ábrázolják \(IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT\).
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
A következő képen a téglalap az univerzum halmaz, a narancssárga régió pedig az univerzum halmaz \(IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT\).
Többet tud: Lépésről lépésre, hogyan kell osztani
Gyakorlatokat megoldott halmazműveletekre
1. kérdés
Tekintsük az A = {–12, –5, 3} és B = {–10, 0, 3, 7} halmazokat, és osztályozzuk az alábbi állításokat T (igaz) vagy F (hamis) kategóriába.
ÉN. A ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. A ∩ B = {3}
III. A – B = {–12, –5}
A helyes sorrend fentről lefelé az
A) V-V-V
B) F-V-V
C) V-F-V
D) F-F-V
E) F-F-F
Felbontás
ÉN. Hamis.
A 0 elemnek A és B uniójába kell tartoznia, mivel 0 ∈ B. Így A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. Igaz.
III. Igaz.
B alternatíva.
2. kérdés
Tekintsük A = {4, 5}, B = {6,7} és C = {7,8}. Ekkor az A ∪ B ∩ C halmaz az
A) {7}.
B) {8}.
C) {7, 8}.
D) {6,7,8}.
E) {4, 5, 6, 7, 8}.
Felbontás
Vegye figyelembe, hogy A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Ezért az A ∪ B ∩ C halmaz az A ∪ B = {4, 5, 6, 7} és C = {7,8} metszéspontja. Hamar,
A ∪ B ∩ C = {7}
Alternatíva A.
Források
LIMA, Elon L.. Elemző tanfolyam. 7 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1992. v.1.
LIMA, Elon L. et al. Középiskolai matematika. 11. szerk. Matematika tanári gyűjtemény. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v.1.
